Série de Fourier

composé Notion de spectre Décomposition en série de Fourier Exemple de calcul d’un spectre : signal en dents de scie Décomposition en série de Fourier à l’aide de Mathematica Définition Transformée de Fourier et spectre des signaux non périodiques à énergie finie Exemple de calcul du spectre d’un signal non périodique à énergie finie Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Égalité de Parseval Calcul d’une transformée de Fourier à l’aide de Mathematica 23 23 23 24 24 25

contrairement aux filtres IIR pour lesquels la synthèse se fera à partir d' un filtre analogique (CHEBITHEV, BUTTERWORTH, etc). ➢ La méthode avec fenêtrage(Synthèse des FIR). En procédant à la détermination de la réponse impulsionnelle par transformée de Fourier inverse d' un filtre dont la fonction de transfert est connue, il se trouve que cette RI(réponse impulsionnelle) à un nombre de coefficients infini. D'où l'intérêt d' utiliser une fenêtre pour limiter cette RI. Ce qui à pour inconvénient de générer

LPI 99/2000 examcor.tex 1/ 7 Éléments de corrigé Exercice 1 1. est définie sur Ê, paire et périodique, de période Ì obtient la courbe : ; de plus ´Øµ ¾ Ø si Ø ¾ ¼ ¾ On 2. Calculons les coefficients de Fourier Ò et Ò de la fonction – calcul de Ò : puisque – calcul de ¼ : est paire, on sait que Ò ¾ ¼; ; on a Ì , ¾ donc ¾. ¼ ½ ¾ – calcul de Ò pour Ò ¾ Æ £ : Ò ¾  ¾ ´Øµ Ø ¾ ¼ ¾ ´Øµ Ø ¾ ¾ ¼ ¾ Ø Ø ¾ ¢¾

0 1 2 3 4 II. Filtrage d’une tension périodique Un circuit composé d’une résistance R et d’une inductance L est alimentée par la tension périodique v(t) décrite par l’oscillogramme suivant : 1) Calculer le développement en série de Fourier de v(t). Montrer que cette tension peut s’exprimer sous la forme : v(t ) = 4E π ∑ sin((2k + 1)π T k =1 ∞ t1 0 ). cos((2k + 1)ω 0 t ) avec ω 0 = 2π T0 2) Déterminer la valeur de t1 qui annule l’harmonique en 3ω0

que le produit infini JJl,;. con\~rge si et seulement si la skie c In ri11 ,1 ‘0 ,ilf) h. Montrer que le produit infini n (1 + [I) ) converge si et seulement si la série CII,, converge. ,i >o iil0 c. Si, de plus, pour tout entier naturel II on a 0 < lo, < 1. montrer que le produit infini I-I (1 - l/,, ) conv’erge si et seulement si la serie CI(,, conv’erge ,OO 1,111 4. Déterminer la nature des produits infinis suivants : b. JJ(l-& ) pour .Yréel. .YE j- n. n[. 11 -Jr III II +z.> b. Si p

vs(t) à t ∞ ? - 1 - Quadripoles-Exercices.doc Exercice 5 Un quadripôle reçoit en entrée un signal v = ⎮Vm.sin(wt)⎮. Il est du premier ordre passe bas, d’amplification statique 1 et de fréquence de coupure à –3dB fc. La décomposition en série de Fourier du signal de sortie u est : u = U0 + ∑k=1∞ Uk.sin(k.w0.t). E5.1 Calculer U0 . E5.2 Calculer w0. E5.3 Si fc = 50Hz, calculer la valeur efficace du fondamental de u. Exercice 6 Etude en régime permanent. Rg eg = Eg.sin(wg.t) Eg R L C v E6

heures Les trois parties sont indépendantes mais obligatoires. Il est cependant souhaitable de les traiter dans l'ordre. ETUDE D'UN FOUR A INDUCTION ALIMENTE PAR UN ONDULEUR AUTONOME Un four à induction est équivalent à un circuit série composé d'une inductance pure L = 60 µH et d'une résistance R = 10 m(. La fréquence de fonctionnement de la tension d'alimentation du four est fixée à f = 600 Hz. PREMIERE PARTIE : ALIMENTATION PAR SOURCE DE TENSION ALTERNATIVE SINUSOIDALE Alimentation

2 6 k k =1     Remarque : la méthode ci-dessus peut se généraliser afin de calculer IV. À l'aide des séries de Fourier Soit ƒ : → , 2π-périodique, impaire telle que : ∀t ∈ ]0, π[, ƒ(t) = 1 et ∀n ∈ , ƒ(n) = 0 , par : 2π ¡ 1. Calculer les coefficients de Fourier (trigonométriques) an et bn définis, pour tout n ∈ ¡ 2. Démontrer que la série Sp(ƒ) de Fourier de ƒ définie pour tout t ∈ Sp(ƒ)(t) = converge simplement vers ƒ sur 3. En déduire : . π (−1) p = 2 p +1 4 p =0

 d’où  :     L’excursion  en  fréquence  se  détermine  par  δf  =  Kf*A   On  donne  l’indice  de  modulation  :  β  =  δf/fm     La  décomposition  en  série  de  Fourier  de  l’onde  FM  est  :     Y(t)  =U*Σ  Jn(β)  cos  [  2π  (fp  +  n  fm)  t]     En   mettant   l’oscillateur   programmable   Agilent   en   mode   FM,  

les valeurs des impédances des résistances, des inductances et des condensateurs, sous peine de n'avoir aucun résultat de simulation valide, voire même aucune simulation. 3 La charge est représentée par soit une résistance seule, une inductance en série avec une résistance, ou un condensateur en parallèle avec une résistance. 4 Ces simulations sont à effectuer pour l'ensemble des valeurs qui vous sont proposées. Fait sous Linux et OpenOffice/StarOffice page 3/9 TP EEA 3.2 -Électrotechnique- 2-