Série de Fourier

l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux et intégrables sur R, et L ∗ l’espace vectoriel des fonctions continues f telles qu’il existe α > 1 pour lequel la fonction x → |x|α f (x) est bornée sur R. A. Préliminaires La transformée de Fourier de f ∈ L est la fonction fˆ définie par la formule : fˆ(ξ) = ∞ −∞ f (x) e −2i πxξ dx. 1) Justifier que pour tout f ∈ L , fˆ est bien définie et continue sur R. On désigne par W l’ensemble des fonctions f ∈ L telles que fˆ ∈ L , et par W ∗ l’ensemble

combinaison linéaire des fonctions [pic], on appelle {[pic]} une base. Dans ce cas on a [pic] Cette représentation de la fonction g est appelée la représentation de Fourier. Par l’orthogonalité des fonctions [pic] on a [pic] et si [pic] alors =+ par Pythagore où tends vers 0, lorsque m tend vers l’infinie par convergence de la série. Ceci implique que l’énergie de la signal différence g(-m) est de plus en plus petite lorsque m tend vers l’infinie, et on entend de moins en moins la différence

ONDELETTES ´ Rene Alt ´ Universite Pierre et Marie Curie 4 place Jussieu 75252 Paris Cedex 05 e-mail: Rene.Alt@lip6.fr LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 1/6 Plan du cours Introduction: qu’est-ce qu’un signal Rappels sur la transformation de Fourier La transformation en ondelettes continues Les principales ondelettes Propriétés des ondelettes La transformation discrete en ondelettes La transformation en ondelettes pour les images Compression à l’aide d’ondelettes Notions sur la multirésolution

séries de Fourier....................................................................................................................... 3 1 - Valeurs moyennes, valeurs efficaces, puissances ................................................................................................................. 3 2 - Taux de distorsion de signaux périodiques........................................................................................................................... 3 3 - Séries de Fourier......

Note d’introduction Document sur La Transformée de Fourier et ses applications en chimie-biologie, par Sylvain Lafontaine, ing. Ce document a été réalisé durant l’été de 1983, alors que j’étais étudiant à l’Université du Québec à Trois-Rivières et a été dactylographié à la main. La version PDF que vous avez actuellement a été réalisée en digitalisant (« scannant ») le document original; c’est pourquoi sa présentation est relativement grossière. À cause des nombreuses formules, je n’ai pas pu

 etc.     Pour  le  traitement  d’un  signal  on  peut  utiliser  :   -­‐ La   décomposition   en   série  de  Fourier  :  elle  permet   de   décomposer   un   signal   en   somme  de  sinusoïdes.  On  utilise  principalement  les  séries  de  Fourier  dans  le  cas   des   signaux   périodiques.   Elles   permettent   ainsi   de   passer   facilement   du

e fouCHAPITRE 3 SERIES DE F OURIER 3.1 Séries trigonométriques Définition 3.1.1 On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions de la forme : a0 + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx) n=1 (1) avec x ∈ R, ω > 0 , an , bn ∈ R, pour tout n dans N. Le problème est de déterminer l’ensemble ∆ tel que la série (1) soit convergente pour tout x ∈ ∆. Remarque 3.1.1 Supposons que la série (1) converge et posons a0 f (x) = + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx). n=1 Sachant que pour tous

supposant d’abord A non nul, puis A nul. 1 3. On suppose que T = 2π et que la fonction a est une constante k. 3.a) Supposant k non nul, exprimer les coefficients de Fourier x(n), n ∈ Z, d’une solution x ˆ de (E2) appartenant à P , en fonction de k et des coefficients de Fourier de b. Préciser le mode de convergence de la série de Fourier de x. 3.b) Que se passe-t-il lorsque k = 0 ? Deuxième partie Dans cette partie on désigne par H une fonction réelle, de classe C 1 , définie sur R2 , et on s’intéresse

propagation supposée linéaire s’écrit simplement : (r , t ) 1(r , t ) 2 (r , t ) . Une fois passé le temps de la rencontre, les deux ondes reprennent leurs cours comme si de rien n’était. Page 1 sur 8 ÉTUDE EXPÉRIMENTALE DES ONDES. 3°) Théorème de Fourier et ondes harmoniques.  Les conséquences du principe de superposition sont immenses ; ce principe conditionne entièrement la physique mathématique des phénomènes ondulatoires. En effet, à partir du moment où pour combiner deux ondes il suffit de

considère la série de fonctions numériques de la variable réelle x, de terme général un (x) = a) Etudier la convergence de cette série. On définit la fonction f : R → R par : +∞ pour tout réel x, f(x) = n=1 cos(nx) . n2 b) Montrer que f est continue sur R, paire et 2π-périodique. π c) Calculer l’intégrale : I = 0 f(x) dx. π d) Calculer, pour p ∈ N∗ , l’intégrale Ip : 0 +∞ f(x) cos(px) dx. e) La série cos(nx) est-elle le développement en série de Fourier de f ? n2 n=1