Série harmonique

) une suite géométrique de raison et de premier terme u1 = 20. 4 3 a) un = u1 × qn – 1 = 20 × ( )n – 1 4 3 10 – 1 3 b) u10 = 20 × ( ) = 20 × ( )9 ≈ 1,502 4 4 3 c) Soit (un) une suite définie pour tout entier n par : un = 3 × 5n + 1. a) un + 1 = 3 × 5n + 2 = 3 × 5n + 1 × 5 = un × 5 la suite est donc géométrique de raison q = 5 b) q = 5 > 1, la suite est donc croissante et sa limite est + ∞ car u0 > 0. c) En langage naturel, on a : ou Entrées : A un nombre entier Entrées : A un nombre entier Initialisation

mieux sur [−1, 1]. Pour x = 1, il y a convergence e de la s´rie (s´ries de Riemann altern´e ou r`gle sp´ciale, le terme g´n´ral ´tant d´croissant en e e e e e e e e e module, de signe altern´ et de limite nulle). Pour x = −1, la s´rie diverge (s´rie harmonique). e e e Ainsi L est d´finie sur ] − 1, 1] e On reconnaˆ un d´veloppement usuel : ıt e ∀x ∈] − 1, 1[, L(x) = ln(1 + x) 1.2 Soit fn : x → (−1) x . n - Les fn sont des fonctions continues sur [0, 1]. - Pour tout x ∈ [0, 1], fn (x) est le terme g´n´ral

Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins

Corrigé IE suites Exercice 1 1. (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 =−5 et de raison r =7. 1) * u1 = u0+r =−5+7 =2. * u2 = u1+r =2+7 =9. 2) La suite est arithmétique donc un= u0+nr =−5+n×7 = 7n−5. d'où u40 = 7×40−5 = 280−5 = 275. 2. (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q = −2. 1) * u1 = qu0 = −2×3 = − 6. * u2 = qu1 = −2×(−6) = 12. 2) La suite est géométrique donc un= u0qn un = (−2)n ×3. d'où, u10 = (−2)10 ×3 =1 024×3 = 3 072. 3)La somme des 10

Activité 1 : On étudie l'évolution d'une population de rongeurs sur une île pendant plusieurs années et on a représenté graphiquement les premiers termes des suites ainsi obtenues. a) b) c) d) e) f) 1) Dans chacun des cas suivants, décrire l'évolution observée. On souhaite utiliser ces études pour prévoir la population à l'avenir, en supposant que l'évolution continue de la même façon. 2) Dans quel(s) cas la population semble-t-elle se stabiliser ? Autour de quelle « population limite » ? →

Exercice 3 : On considère la suite (un ) définie par : un+1 = −0, 5un + 5 u0 = 50 On considère également la suite (vn ) définie par : vn = un − 10 3 1. Remarquons d’abord que pour tout entier n ∈ N, vn = un − 10 10 ⇐⇒ un = vn + 3 3 Ensuite, soit n ∈ N : vn+1 = un+1 − 10 3 10 3 15 10 10 + − = −0, 5 vn + 3 3 3 1 10 5 = −0, 5vn − × + 2 3 3 5 5 = −0, 5vn − + 3 3 = −0, 5vn = −0, 5un + 5 − (vn ) est donc une suite géométrique de raison q = −0, 5 et de premier terme : v0 = u0 − 150 10 140 10 =

DIVERS SYSTEMES MECANIQUES OSCILLANTS. A) PENDULE SIMPLE. 1. Définitions. Tout corps pesant susceptible de faire des allers-retours, c-a-d d’osciller, autour d’un axe sous l’action de la pesanteur est un pendule pesant. Le pendule simple est constitué par une masse de très petite dimension qui oscille à une distance constante d’un axe horizontal fixe. Cette distance est appelée « longueur du pendule simple ». En, pratique, on peut suspendre à un fil très léger et inextensible une petite

1.0. INTRODUCTION Les mouvements harmoniques simples sont présents dans notre quotidien. Toutefois, les premières observations du phénomène remontent à Galilée (1564-1642). La vibration d’une corde de guitare ou encore une suspension d’automobile en sont de bons exemples. Ce type de mouvement est caractérisé comme périodique puisqu’il se répète à intervalles réguliers. Sans frottement ou force extérieure additionnelle, il suit une fonction sinusoïdale spécifique en maintenant une amplitude positive

Systèmes oscillants Des exemples de systèmes oscillants : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Un oscillateur mécanique est un système mécanique qui effectue un mouvement d’aller-retour de part et d’autre de sa position d’équilibre. Une oscillation est un aller-retour autour de la position d’équilibre. L’oscillateur est périodique si les oscillations se reproduisent identiques à elles-même. La période T du mouvement, exprimée en seconde, est

phénomènes qui n'ont pas la même période, la notion de déphasage peut ne présenter aucun intérêt. Pour un phénomène non périodique on ne peut parler que de décalage. Energie : Oscillateur harmonique et conservation de l’énergie Nous nous proposons de mener l’étude d’un autre oscillateur harmonique, le pendule simple, par le biais de la loi de conservation de l’énergie. Un pendule simple est une masse  de faible dimension (théoriquement ponctuelle) suspendue à un fil de longueur constante  qui