Signe Apollinaire

pas oublier également qu'une fonction polynôme du second degré se représente toujours par une parabole. De la position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, on peut déduire si la fonction s'annule et quels sont les intervalles où son signe est constant. 1. Comment détermine-t-on le nombre de solutions d'une équation du second degré ? • Pour résoudre une équation du second degré, on transpose tous les termes dans un seul membre pour obtenir une écriture de la forme : ax^2 + bx + c =

directeur et ordonnée à l’origine d’une droite) Exercice 2 : détermination d’une fonction affine, taux d’accroissement Exercice 3 : fonction affine par intervalles (par morceaux) Exercice 4 : sens de variation d’une fonction affine Exercice 5 : signe d’un binôme , inéquation du premier degré à une inconnue (résolution algébrique et résolution graphique) Exercice 1 (5 questions) Soit 12345- Niveau : facile la fonction affine définie, pour tout nombre réel , par Déterminer et . Calculer

savoir déterminer le signe d’un trinôme du second degré ; • La détermination du signe d’un trinôme du second degré est d’autant plus aisée qu’on a pu, si cela est possible, le factoriser. Ces deux observations conduisent naturellement à la partie suivante. Signe d’un trinôme du second degré On considère une fonction f définie par : f :x ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0 ) Ici encore, nous allons utiliser la forme canonique du trinôme ax 2 + bx + c pour déterminer le signe de f ( x ) . 2

+ 14 + 6 =70 Travail à effectuer : Calculer en utilisant les formule de la distributivité simple ou double (conseil faire les traits) 5*(3+2)6*(2+(-3)) faire attention au signe moins car quand on multiplie un plus par un moins on obtient un moins, ici d= -3 (5+2)*(3+6)(5-2)*(6+3)faire attention au signe moins car quand on multiplie un plus par un moins on obtient un moins, ici b= -2

−3x+5−5 > 0−5 c'est à dire −3x > −5. Puis comme -3 est négatif on divise chaque membre par -3 en changeant le sens de l'inégalité : −3x /-3 < -5/-3 x < 5/3 Donc S=]−∞;5/3[ En appliquant le théorème précédent à l'expression ax+b on obtient le tableau de signe suivant : Si l'on ajoute ou si l'on soustrait un même nombre à chaque membre d'une inéquation, on obtient une inéquation équivalente (c'est à dire qui à les mêmes solutions). Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une inéquation

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit f  x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) x −∞ lim f  x=−∞ . x −∞

( x + 3 ) 2 2 C = 2x2 – 7 = ( 2x) – ( 7) = ( 2x – 7 ) ( 2x – 7 ) 2 C’ = 4x2 – 9 = ( 2x – 3 ) ( 2x + 3 ) © www.automaths.com c) Equations du type x2 = a L’équation x2 = a où x est l’inconnue possède 0, 1 ou 2 solutions suivant le signe de a. a < 0 : pas de solution a = 0 : 0 est l’unique solution de l’équation a > 0 : a et – a sont les deux uniques solutions de l’équation Démonstration : a < 0 : un carré ne peut être négatif, l’équation n’a donc pas de solution a = 0 : x2 =

3ème – Chapitre 12 Inéquations INEQUATIONS 1) Inégalité et signe d'une différence propriété 1 a et b désignent des nombres relatifs ou des variables.  dire que a  b revient à dire que a  b  0 ;  dire que a  b revient à dire que a  b  0 ;  dire que a  b revient à dire que a  b  0 . 2) Addition, soustraction et ordre propriété 2 a, b et c désignent des nombres ou des variables.  a  c et b  c sont rangés dans le même ordre que a et b ; autrement dit, ajouter un même

confondre « opposé » et « inversé ». Question: x est un nombre relatif quel est le signe de -x ? Si x supérieur a 0 alors -x inférieur à 0 Si x inférieur à 0 alors -x supérieur à 0 On ne peut pas savoir tout dépend du signe de x. II. Addition et soustraction de deux nombres relatifs A) Calculer une somme Propriété 1: La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif qui a: pour signe, le signe commun aux deux nombres pour distance à zéro, la somme des distances à zéro Exemples:

I - Second degré Résolution d'équation du second degré Signe de ax²+bx+c Factorisation d'un polynôme du second degré Calculatrice et second degré I 5 6 7 7 A. Résolution d'équation du second degré 1. Résolution de l'équation ax²+bx+c=0 Définition Pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0 on calcule  b −4 a c 2 Si 2 b −4 a c est positif on a alors deux solutions possibles : 2 2 - b−  b −4 a c ou - b b −4 a c x 1= x 2= 2a 2a   Si Si 2 b −4 a c est égal à 0 on a