Sous-espace vectoriel engendré

G´om´trie vectorielle algorithmique e e ou La g´om´trie vectorielle par l’informatique e e Comment r´soudre les exercices de g´om´trie vectorielle e e e sans faire les dessins ? Jean-Paul JURZAK L’auteur autorise la libre diffusion de ce travail, ` des fins non-commerciales. a Pr´face e Ce travail est destin´ ` un large public d’enseignants, d’´tudiants et aussi d’informaticiens. Son but ea e est d’aborder la g´om´trie vectorielle sous un aspect nouveau permettant de r´soudre la plupart

et la pression p = 1016 hPa. - Un champ scalaire est défini par une valeur associée à une unité en chaque point de l’espace considéré ►    Grandeur vectorielle : Une grandeur vectorielle (en physique) est caractérisée par : son origine ; sa direction et son sens ; sa valeur associée à une unité. En physique, en représente une grandeur vectorielle par un segment fléché : Origine : position considéré, point d’application ; direction et sens ; valeur associée à une unité. Une échelle est affectée

suffit de remarquer que A2 − 3A + 2I3 = 0. Remplaçant dans l’expression de la division euclidienne, on trouve An = (2n − 1)A + (2 − 2n )I3 . Rang Exercice 8 - Explicite... - L1/Math Sup On utilise la méthode du pivot de Gauss pour mettre la matrice sous forme échelonnée. 1. On a     1 2 3   rg(A) = rg  0 −1 −2  L2 − 2L1 0 −2 −4 L3 − 3L1 1 2 3   = rg  0 −1 −2  . 0 0 0 L3 − 2L2 Le rang de la matrice est donc égal à 2. 2. On a     1 1 1   rg(B) = rg  0 1 3  L2 − L1 0 2 8 L3

0 , x2 ) ; x2∈ℝ } . Montrer qu’ils constituent des espaces vectoriels. Solution 1 : Rappelons d'abord que E1 et E 2 sont des sous-ensembles de ℝ et que les lois de composition interne et externe ne sont que les lois habituelles + et × . Nous savons déjà que ( ℝ2 ,+, × ) est un espace vectoriel. Nous n'avons donc pas besoin de vérifier toutes les propriétés (8 propriétés) d'un E.V., mais seulement la stabilité des 2 sous-ensembles pour les deux lois. 1. On vérifie premièrement

telle que : Œ (I, +) est un sous-groupe de (K[X], +),  ∀P ∈ I, ∀Q ∈ K[X], PQ ∈ I. Définition. Un idéal I de K[X] est prinicipal si et seulement si il est engendré par l’un de ses éléments c’est-à-dire si et seulement si il est de la forme I = PK[X] = {PQ, Q ∈ K[X]}. Théorème. (K[X], +, ×) est un anneau principal, c’est-à-dire que tout idéal de K[X] est prinicipal. 4) PGCD, PPCM, Bezout, Gauss. Théorème et définition. A et B sont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré par A et B est A.K[X] + B.K[X]

entiers, nombres rationnels 1.4 Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12 17 22 26 2. Analyse 2.1 Espaces vectoriels normés 2.2 Nombres réels 2.3 Nombres complexes 2.4 Suites 2.5 Fonctions réelles de la variable réelle 2.6 Dérivation 2.7 Intégration 2.8 Équations différentielles

44 13 D´rivabilit´ e e 50 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 55 15 Calculs d’int´grales e 58 ´ 16 Equations diff´rentielles e 65 III ` ALGEBRE 2 70 17 Espaces vectoriels 70 18 Applications lin´aires e 73 19 Espaces vectoriels de dimension finie 78 20 Matrices 83 21 D´terminants e 90 IV ANALYSE 2 94 22 Suites : compl´ments e 94 23 Continuit´ et comparaison de fonctions e 95 24 D´rivabilit´

des matières Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques » . . . . . . . . . Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 1. Espaces vectoriels et Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 1.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAGEREF _Toc368477577 \h 3II.3 Palette de couleurs PAGEREF _Toc368477578 \h 3II.4 Poids d’une image PAGEREF _Toc368477579 \h 3III Types d’images PAGEREF _Toc368477580 \h 4III.1 Les images pixellisées PAGEREF _Toc368477581 \h 4III.2 les images vectorielles: PAGEREF _Toc368477582 \h 4III.3 Avantages et inconvénients PAGEREF _Toc368477583 \h 4IV Les formats PAGEREF _Toc368477584 \h 5IV.1 PNG Portable Network Graphics (extension .png) PAGEREF _Toc368477585 \h 5IV.2 GIF Compuserve Graphics (extension

[005656] Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1, n]], Tr(Ak ) = 0. Correction [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant f g − g f = f . Montrer que f est nilpotent