Suite aléatoire

...................................................................................... 4 II - Probabilités conditionnelles ....................................................................................................... 5 III - Variables aléatoires réelles ....................................................................................................... 6 C- Exemples de lois de probabilités discretes.....................................................................................

........................................................... Chapitre 3 Variables aléatoires Sommaire 1. Introduction…………………………………………………………………………………3 2. Variables aléatoires discrètes…………………………………………………4 2.1. Définition………………………………………………………………………………………………..4 2.2. Loi de probabilité………………………………………………………………………………….4 2.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….5 3. Variables aléatoires continues…………………………………………………7 3.1. Définition………………………………………………………………………………………………..7

Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Notation ( ). Indépendance de deux événements. Notions de lois à densité. Loi à densité sur un intervalle. Loi Uniforme sur [ ; ]. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme. Lois Exponentielles. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Loi Normale centrée réduite, Théorème de Moivre-Laplace (admis). Loi Normale ( , ). CAPACITES ATTENDUES • Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. • Exploiter

indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Variables aléatoires réelles 43 3.1 Définition-Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Variables aléatoires absolument continues . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Fonction génératrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Fonction

fn . 2. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un unique réel un tel que fn (un ) = 0 et que ce réel est positif. 3. Calculer fn+1 (x) − fn (x) pour x positif. En déduire la monotonie de la suite (un ). 1 4. Montrer que un ≤ . n En conclure que la suite (un ) est convergente et donner sa limite. 1 5. Calculer lim nun et en déduire que un est équivalent à quand n tend vers +∞. n→+∞ n 1 6. Déterminer un équivalent simple de − un lorsque n est voisin de +∞. n Exercice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles 1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . 1.4 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . 1.4.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . 1.4

et indépendantes Exemples : 1) On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat. On répète ainsi la même expérience (lancer un dé) et les expériences sont indépendantes l'une de l'autre (un lancer n'influence pas le résultat d'un autre lancer). 2) Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne. On répète cette expérience 10 fois de suite. Ces expériences sont identiques et indépendantes. Définition : Plusieurs

linéaires Chapitre 8 Variables aléatoires réelles discrètes 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 Séries doubles convergentes 3 Indépendance de variables aléatoires réelles discrètes 4 Espérance et conditionnement des variables discrètes Chapitre 9 Vecteurs aléatoires discrets 1 Couples de variables aléatoires réelles discrètes 2 Variable aléatoire fonction d’un vecteur discret 3 Vecteurs aléatoires discrets à valeurs dans Rn Chapitre

Dénombrement et équiprobabilité Exercice 1.1 Trois nouvelles séries sont proposées par une chaîne de télévision. Pour chacune d’entre elles, la chaîne diffuse un épisode pilote et, en fonction de l’appréciation du public, la chaîne décidera de diffuser la suite des séries. On considère les évènements suivants : Ei =“l’épisode pilote de la série i a été apprécié par le public” (i = 1, 2, 3). Exprimer les évènements suivants en fonction de Ei , E i et des opérateurs ∩ et ∪ : A =“tous les épisodes ont été appréciés”

font l’objet de la partie 2. Dans la partie 1 sont établis quelques résultats préliminaires utilisés ensuite. Partie 1 Soit ( p n ) n(( une suite de nombres positifs telle que la série Σ p n converge. On considère la fonction F : [pic]qui appelée fonction génératrice de cette suite. 1°) Étude de F. a) Montrer que pour t([0 ; 1] la suite de n ème terme général [pic] p k t k est croissante majorée. En déduire que F est définie sur [0 ;1] . b) Montrer que F est une