Suite arithmético-géométrique

NotationsUne suite numérique est une fonction de ℕ vers ℝ. Si une suite est représentée par la lettre u, on note un l'image de n, appelée aussi terme d'indice n. La suite entière est représentée par (un). Suite des valeurs d'une fonction.Soit f une fonction définie sur [0; +[. On peut définir une suite (un) par un = f (n). Exemple Soit f la fonction définie par . On considère la suite (un) définie par un = f(n). On a alors : , , , etc... Suite définie par récurrenceOn définit une suite par

Cours sur les suites Généralités Suites numériques 1) Définition : Une suite numérique est une fonction nommée u : IN → IR L'image d'un entier n est notée u(n) u(n) est appelé le terme général de la suite Le terme de rang n+1 est noté u(n+1) 2) Suites définies par une fonction Si f est une fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ , on peut lui associer la suite u(n) de terme général u(n)=f(n). les points de coordonnées (n,u(n)) appartiennent à la courbe d'équation

1. Soit U la suite arithmétique de premier terme u 0 = 1 et de raison 3. (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 50 Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1 . 2 (a) Donner la formule explicite ainsi que la formule de récurrence de U . (b) Calculer u 20 2. Calculer judicieusement 1 + 2 + 3 + ... + 100 Sujet A Sujet B 1. Soit U la suite géométrique de premier terme

Un une suite arithmétique de raison r, cela veut dire que pour passer d'un terme à un autre on ajoute la raison : Un+1 = Un + r On peut ainsi définir ce qu'on appelle le terme général de la suite, c'est à dire qu'on peut déterminer n'importe quel terme de la suite en fonction de n : Un = Uo + n.r (avec Uo le premier terme) Il faut faire parfois attention, car on peut avoir U1 comme premier terme et non Uo, on écrira Un comme ceci : Un = U1 + (n-1).r Si on veut déterminer la somme d'une suite arithmétique

Définition. Une suite (an )n∈N de nombres réels est dite ”arithmétique” si chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du terme suivant (sauf le premier évidemment ). soit: an = 1 ( an−1 + an+1 ) pour n = 0 2 2 Sens de variation d’une suite. Il existe un nombre réel r appelé raison de la suite (an )n∈N tel que, pour tout n entier naturel: an+1 = an + r. * si r < 0 alors la suite est décroissante * si r = 0 alors la suite est constante * si r > 0 alors la suite est croissante

progression arithmétique : [pic]et [pic] (r représente la raison de la suite arithmétique) Annuités en progression géométrique : [pic] et [pic] avec g ≠ i (g est le taux de croissance de l’annuité et (1+g) la raison de la suite géométrique) Si g = i → [pic] Annuités perpétuelles constantes : Annuités perpétuelles en progression arithmétique : Annuités perpétuelles en progression géométrique : Rentes : Rentes temporaires : Rente immédiate :

DE CALCUL Taux périodique i’ équivalent à un taux annuel i : Valeur du k-ième amortissement : Rk = R1.(1 + i) Rn = a 1+ i k −1 Valeur du dernier (le n-ième) amortissement : i' = (1 + i) k − 1 = k 1 + i − 1 Somme d'une suite en progression géométrique de raison q, et de 1er terme a : 1 Capital Restant Dû après le k-ième amortissement : (1 + i ) k − 1 CRDk +1 = C − C. (1 + i ) n − 1 Durée normale de remboursement : qn − 1 ∑ = a. q − 1 Valeur acquise à intérêts simples

ANNUITES I Notions d’annuités a.Définition Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux. Le processus de versements dépend du montant de l’annuité, de l’intervalle de temps séparant le versement de deux annuités, du nombre de versements ainsi que de la date de versement de la première annuité. Deux cas peuvent se présenter : -annuités constantes -annuités non constantes En d’autres termes, il s’agit d’un versement régulier

en cas d’apports ou de retraits de capitaux ? Ce calcul de base cesse d’être correct si des apports ou des retraits de capitaux ont lieu lors de la période considérée. Ces éléments ne consistant pas en des accroissements ou diminutions de richesse suite à la gestion (contrairement aux dividendes et/ou revenus d’intérêts), il faut les neutraliser pour estimer la performance de cette gestion. Intervient dès lors l’indicateur international : le Time Weighted Return (TWR).Celui-ci invite à découper la

SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Les nombres suivants sont-ils en progression arithmétique ? 2364510 ; 3475621 ; 4586732 Exercice n°2. Parmi ces suites, lesquelles sont arithmétiques ? : u0 = 1  un +1 + un = 1 u0 = 3  un − un +1 = 4 Exercice n°3. ( un ) est une suite arithmétique de raison r. 1) On sait que u0 = 2 et r = −3 . Calculer u10 , u20 , u100 . 2) On sait que u0 = 2 et u1 = 5 . Calculer r et u2 et u5 3) On sait que u0 = 2 et u2 = 10 . Calculer