Suite arithmético-géométrique

session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 EXERCICE 6 analyse Énoncé exercice 6 Soit (un )n∈N une suite de réels strictement positifs et l un réel positif strictement inférieur à 1. un+1 1. Démontrer que si lim = l, alors la série un converge. n→+∞ un un+1 Indication : écrire, judicieusement, la définition de lim = l, puis majorer, pour n assez grand, un n→+∞ un par le terme général d’une suite géométrique. n! ? 2. Quelle est la nature de la série nn n 1 Corrigé exercice 6 1. Par hypothèse : ∀ ε > 0

d’une suite a. u1 = - 3 ; u2 = - 2 ; u3 = 3 b. u1 = 5 ; u2 = 7 ; u3 = 11 c. u1 = 6 ; u2 = - 2 ; u3 = 6 d. u1 = 2 ; u2 = 7 ; u3 = 12 3 Listes incomplètes 1. a. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 2. a. Pour n Œ‫ގ‬, un = 3n b. 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63 b. Pour n Œ‫ގ‬, un = 2 n - 1 c. 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5 040 c. Pour n Œ‫ގ‬, un = 1 ¥ 2 ¥ 3 ¥ º ¥ n = n! 4 Jeu d’écriture Pour n Œ‫ގ‬, un = 2n2 - n + 2 ; un -1 = 2n2 - 5n + 5 ; un + 2 = 2n2 + 7n + 8 ; u2 n = 8n2 - 2n + 2. 5 Suite et somme

s'éloigne du nombre Un, plus il s'enfonce dans la matière, plus il se rapproche du nombre Un, plus il remonte vers l'Esprit et la Lumière. Les Dix premiers nombres appartiennent au domaine de l'Esprit. Ce sont les moins matérialisés. Ecrivons donc tout de suite, pour nous habituer, la double progression : Le chiffre n'a pas d'importance, c'est la direction de la progression qui seule doit être considérée. Sexe des nombres - Les nombres sont masculins et actifs ce sont les nombres Impairs, ou féminins et

donné dans Nous voyons bien apparaître la somme k=1 n k qui, elle, peut l’énoncé. Il se trouve également dans ces inégalités la somme k=1 être calculée sans indication : il s’agit simplement de la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1. D’après la formule classique donnant la valeur d’une telle somme, on a n k= k=1 n(n + 1) . 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Notons que l’encadrement que l’on obtiendra

proposition. Finalement, pour tout n ≥ 1, on a c n = 4 n (n + 1) On sait par ailleurs que, pour tout n ≥ 1, on a en = donc on a bien, pour 2 tout n ≥ 1, c n = en2 . = Exercice 2 On conjecture l’expression de un en calculant les premiers termes de la suite. 1 1 u0 u 1 1 On a : u1 = ainsi il semble que = , u2 = 1 = 2 = 2 = 1 3 3 1+ u 0 2 1+ u1 1+ 1 2 2 un = . 1 1 n +1 u2 1 3 3 = = = . Le calcul de u 3 nous conforte dans cette idée. En effet u 3 = 1 4 4 1+ u2 1+ 3 3 Corrigé séquence 1 – MA02 5 1 La

disposition des élèves sur le site compagnon, intégralement ou partiellement complétés, plus particulièrement lorsque le problème consiste, soit à modifier, compléter ou corriger un algorithme, soit à réaliser des conjectures sur une configuration géométrique relativement complexe, ou bien encore à effectuer des simulations sur une feuille de calcul d’un tableur. Ils serviront ainsi de base de travail pour une activité en autonomie ou pour un devoir à réaliser à la maison. Nous espérons que ce

aide sur l’aide De même faire suivre une commande par deux points d’interrogation renvoie le code source de cette commande ; celui-ci contient d’ailleurs au début le texte de l’aide en ligne précédente : sage: diff?? La touche de tabulation tab à la suite d’un début de mot montre quelles sont les commandes commençant par ces lettres : arc suivi de la tabulation affiche ainsi le nom de toutes les fonctions trigonométriques réciproques. En particulier la commande a. tab énumère toutes les méthodes qui s’appliquent

des nombres a e e naturels. Ils constituent la liste exhaustive de ses propri´t´s : tout th´or`me le concernant devra ee e e ˆtre d´montr´ ` partir d’eux et des r`gles du raisonnement logique. e e ea e Nous laisserons ces probl`mes de cˆt´ dans la suite de ce cours et feront comme si les entiers e oe na¨ ´taient un objet math´matique ob´issant aux axiomes de Peano. ıfs e e e L’ensemble de tous les entiers naturels est not´ N. On note 1 le successeur de 0, 2 le successeur e de 1, 3 celui de 2, etc

deux premières sont toujours présentes. Chapitre II Les enjeux de la politique économique La politique économique répond à deux problèmes et s’appuie sur deux instruments. Les deux problèmes sont : l’inflation ; le chômage. Nous examinerons par la suite le problème du déficit extérieur, dont nous avons déjà eu l’occasion de souligner qu’il était lié à la situation monétaire et budgétaire par le biais de l’équation : (S – I) + (T – G) = X – M. Les outils pour résoudre le chômage et l’inflation sont