Suite arithmético-géométrique

arithmétiques EXERCICE 1 – Soit U n une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme 51 ; Calculer U 9 EXERCICE 2 – On suppose que l’on a une suite U n qui vérifie la relation suivante : U n = U n −1 + 1 2 1) Montrer que cette suite est arithmétique ; quelle est sa raison ? 2) Comment peut-on calculer simplement U 5 en fonction du premier terme U 0 = 64 ? 3) Quelle est la limite de cette suite ? EXERCICE 3 – On suppose que l’on a une suite U n qui vérifie la relation suivante :

Module 1 : LES NOMBRES MOYENNES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES A. La moyenne arithmétique 1. Définition La moyenne arithmétique de deux nombres donnés a et b est leur demi-somme a +b 2 Exemple : J’ai acheté 2 x 1 500 litres de mazout cette année. La 1ère X, j’ai payé 8,46 F le litre. La seconde X, j’ai payé 9,82F le litre. En moyenne, j’ai payé 8,46 + 9,82 = 9,14 F le litre 2 La moyenne arithmétique de vitesse n’a de sens que quand on envisage la durée d’un trajet.

correspondante ; – F (xi ) la fréquence cumulée correspondante. La moyenne arithmétique, x : x = 1 n n i=1 xi ou x = 1 n k i=1 k i=1 fi xi n i=1 La moyenne arithmétique pondérée : x = La moyenne géométrique : G = √ n x1 .x2 ...xn ni xi avec n = ni La moyenne géométrique pondérée : G = La moyenne harmonique : 1 H n xn1 .xn2 ...xnn n 1 2 1 xn ] = 1 1 n [ x1 + 1 x2 + ... + Cours de Philippe Frouté 1 Année 2011-2012 Formulaire de Statistiques

Cette fonction est négative sur ]1, +∞[. Donc la fonction est concave. 2. Par concavité de f , on a : ln ln a+b 2 ≥ √ 1 (ln ln a + ln ln b) = ln ln a ln b . 2 Passer à l’exponentielle donne le résultat. Exercice 4 - Moyenne arithmétique et géométrique - L1/Math Sup Par concavité du logarithme : ln a1 + · · · + an n ≥ ln(a1 ) + · · · + ln(an ) . n On applique l’exponentielle et les propriétés habituelles du logarithme pour trouver le résultat ! Exercice 5 - Intégrale - L1/Math Sup La corde

Savoir être pour agir avec Sens Études de suites 1.1 Suites arithmétiques o Définition o Calcul des termes et de la somme 1.2 Suites géométriques o Définition o Calcul des termes et de la somme 1.3 Suites arithmético-géométriques o Calcul des termes Savoir être pour agir avec Sens 7/33 1.1 Suites arithmétiques Définition o Suite de nombres espacés d’une valeur constante, appelée raison Ex : 2 4 6 8 +2 +2 +2 … +r +r +r : valeur : rang o On note : Savoir être pour

faisant intervenir des suites géométriques ou des suites arithmético-géométriques. ̈ Modéliser ces situations par des suites géométriques ou arithmético-géométriques. ̈ Utiliser de telles suites pour prévoir des évolutions (intérêts composés, population, etc.). ̈ Se méfier de la limite intuitive de certaines suites (voir les deux paradoxes). Sommaire 1. Pré-requis 2. Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique 3. Limite d’une suite géométrique de raison strictement positive

Le programme Contenus Capacités attendues Commentaires Suites Suites géométriques. • Reconnaître et exploiter une suite géométrique dans une situation donnée. • Connaître la formule donnant : 1 + q + K + qn avec q ≠ 1 . Limite de la suite (qn), q étant un nombre réel strictement positif. Suites arithmético-géométriques. • Déterminer la limite d’une suite géométrique de raison strictement positive. • Étant donné une suite (qn) avec 0  q  1, mettre en oeuvre un algorithme permettant de déterminer

: SUITES GEOMETRIQUES I - Suites géométriques 1. Définitions suite géo : passe d’un terme au suivant en multipliant par un mm nbre : raison suite est géo de raison « q » ss elle vérifie : relat° de récurrence : = pour tt n ∊ N : Un+1 = q x Un suite est géo de 1er terme Uo et raison q ss son terme général : Un = Uo x qN 2. Sens de variation Soit U suite géo de raison q > o tel que Un = qN • o < q < 1 : suite décroissante • q = 1 : suite constante • q > 1 : suite croissante

SUITES NUMERIQUES I. Suites arithmétiques, suites géométriques 1. Suites arithmétiques Définition Dire qu’une suite est une suite arithmétique, c’est dire qu’il existe un réel tel que pour tout : Propriétés Si Si Si est une suite arithmétique de premier terme est une suite arithmétique de est une suite arithmétique de alors pour tout : : . . alors pour tous entiers naturels alors . . Exemple :    est une suite arithmétique de premier terme . Calcul de ; Expression

Chapitre 1 Suites géométriques 1. Page d’ouverture • Énigme ✱ (Sn ) est la suite définie pour tout nombre entier n, par : 1 1 1 Sn = 1+ + 2 + …+ n . 2 2 2 En utilisant la formule de la somme des termes d’une suite géométrique, pour tout nombre entier naturel n, 1 n+1 1– ⎛ 2 1 n+1⎞ = 2 ⎜1– Sn = 2 ⎟⎠ 1 ⎝ 1– 2 ⎛ 1n 1 n+1⎞ = 2 – S n = 2 ⎜1– 1+ . 0. 2 ⎟⎠ 2 ⎝ Donc la somme des aires des carrés ne dépassera pas 2 m². () () () () • Énigme ✱ ✱ 1 7 8 5 4    1. B et III.   2. A et II. 3. C et I