Suite arithmético-géométrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Feuille d’exercices n◦ 3 – Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 IV Rappels et compléments sur les suites 29 i I Notion de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 A Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 B Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 Nombres complexes 7.1 Généralités . . . . . . . . . 7.2 Conjugué et module . . . . 7.3 Équations du second degré . 7.4 Propriétés géométriques . . 7.5 Exponentielle complexe . . 7.6 Cercles et rotations . . . . 7.7 Exercices . . . . . . . . . . 8 Logarithme 8.1 Construction . . . . 8.2 Propriétés . . . . . 8.3 Fonctions puissances 8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’équations différentielles du premier ordre 3.1 Méthode de Newton Soit le problème suivant (P ) : y = f (x,y) y(x0 ) = y0 Remarque 3.1 Le théorème 2.1 de Cauchy affirme que le système (P ) précédent possède une unique solution φ, on va construire une suite de points (xn ,yn ) proche des points (xn ,φ(xn )). On connaît la pente de la tangente à φ en (x0 ,y0 ) on approxime alors φ par sa tangente entre x0 et x0 + h, h est le pas de notre méthode, en général h doit être assez petit pour que l’approximation

. . . . . . . . . . Matrices, déterminant, nombres complexes, géométrie Cocyclicité dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres complexes, géométrie plane Fonctions usuelles 7 8 9 10 Autour d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 15 16 17 Fonctions usuelles, suites numériques Etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques Fonctions

récurrence Ce chapitre vient prolonger les connaissances acquises en classe de Première sur les suites. Le programme de Terminale comporte des rappels et des compléments sur les suites arithmétiques, les suites géométriques, le comportement global d’une suite, le comportement asymptotique d’une suite, le théorème de convergence des suites croissantes majorées et les propriétés des suites ( u n ) de la forme u n+1 = f ( u n ) qui convergent vers un réel L lorsque la fonction f est continue en L. Des exercices

1) . 2) - et sont conjugués. - et et et sont opposés. sont conjugués si et seulement si α + β = 0 [2π]. sont opposés si et seulement si α = β + π [2π]. , on utilise (lorsque ) la somme des ter- Pour calculer mes d’une suite géométrique de raison différente de 1, on met en facteur et on utilise les formules d’Euler. 6 2. Polynômes Attention aux confusions de notations entre polynômes et fonctions polynômes. Lorsqu’on écrit une fonction polynôme P, on doit toujours faire

situations typiques où on fait un raisonnement par récurrence qui ne présente aucune difficulté : • (§ 4.2.4) Soit A ∈ M3 (R), Xn ∈ M3,1 (R) telles que ∀n ∈ N, Xn+1 = AXn . On montre alors par récurrence : ∀n ∈ N, Xn = An Xn • (§ 2.3) Soit (un )n∈N une suite telle que ∀n ∈ N, un+1 = f (un ), et u0 = a, avec a tel que f (a) = a. On montre alors par récurrence : ∀n ∈ N un = a • Pour établir l’hérédité, il faut souvent utiliser une idée ou une propriété mise en évidence dans une question précédente. C’est

situations typiques où on fait un raisonnement par récurrence qui ne présente aucune difficulté : • (§ 4.2.4) Soit A ∈ M3 (R), Xn ∈ M3,1 (R) telles que ∀n ∈ N, Xn+1 = AXn . On montre alors par récurrence : ∀n ∈ N, Xn = An Xn • (§ 2.3) Soit (un )n∈N une suite telle que ∀n ∈ N, un+1 = f (un ), et u0 = a, avec a tel que f (a) = a. On montre alors par récurrence : ∀n ∈ N un = a • Pour établir l’hérédité, il faut souvent utiliser une idée ou une propriété mise en évidence dans une question précédente. C’est

1. k=1 n n f k=1 λk xk ≤ k=1 λk f (xk ) Comparaison des moyennes : Soit n ∈ N∗ , soient x1 , . . . , xn > 0. • La moyenne arithmétique de x1 , . . . , xn est : A(x1 , . . . , xn ) = 1 n n xk k=1 20 • La moyenne géométrique de x1 , . . . , xn est : n 1 n G(x1 , . . . , xn ) = k=1 xk • La moyenne harmonique de x1 , . . . , xn est : H(x1 , . . . , xn ) = n n k=1 1 xk On a : H(x1 , . . . , xn ) ≤ G(x1 , . . . , xn ) ≤ A(x1 , . . . , xn ) 2.2

complexes 49 6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 Propriétés algébriques . . . Conjugué et module . . . . Équations du second degré . Propriétés géométriques . . Exponentielle complexe . . Cercles et rotations . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .