Suite de Cauchy

algébrique d’un nombre complexe 1.2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe 1.3. Racine n-ième d’un nombre complexe 2. Equations du second degré 3. Exercices 7 7 7 9 10 11 11 Chapitre 3. Suites numériques 1. Définition et premières propriétés 1.1. Suite arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques 1.2. Suites numériques adjacentes 1.3. Suites numériques définies par récurrence linéaire 2. Approfondissements 3. Suites numériques complexes 4. Exercices 13 13 15 16 16 18 20 21 Chapitre 4

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires

|k ; 3. |P(F )| = 2|F | ; 4. ∀ 0 k |F |, |Pk (F )| := |F | k Ce qui revient ` d´finir une suite (un )n∈N telle que a e {un , n ∈ N} = Q+ . ∗ Th´o 1.20. L’intervalle semi-ouvert ]0; 1] n’est pas un ene semble d´nombrable e Pour montrer un tel r´sultat, on peut raisonner par l’abe surde : supposons qu’il existe une suite (an )n∈N telle que tout x de ]0; 1] soit un des an . Ecrivons les termes de cette suite avec des d´cimales ai j ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} : e a1 a2 a3 a4 a5 . . . = = = = = 0, a1 1 a1

de racines pour des fonctions non-linéaires. On trouvera dans l’annexe des rappels d’algèbre linéaire. Le but de ce cours est aussi pratique : il vise à présenter aux étudiants de candidature les outils numériques dont ils auront besoin dans la suite de leurs études. Après une présentation théorique, l’implémentation sur ordinateur et la résolution de problèmes concrets est abordée. La mise en oeuvre pratique est proposée dans le langage MATLAB. Chaque chapitre comporte des travaux pratiques

plusieurs réels • Faire tout passer dans un membre, puis faire apparaître une somme de nombres tous positifs ou nuls (souvent des carrés de réels), pour conclure à une positivité. ➥ Exercices 1.6, 1.11 • Appliquer convenablement l’inégalité de Cauchy-Schwarz ou l’inégalité de Minkowski. ➥ Exercice 1.12. Voir aussi chapitre 6. Essayer de faire une récurrence sur n. Pour y arriver, il faut que la propriété à l’ordre n + 1 s’exprime simplement en faisant intervenir la propriété à l’ordre n. ➥

b) Suites et fonctions : les espaces vectoriels considérés dans ce paragraphe sont de dimension finie sur R ou C et les applications sont définies sur une partie d’un tel espace vectoriel et à valeur dans un autre : équivalence des normes, suite de Cauchy ; notions de topologie, voisinage, continuité, continuité uniforme, parties compactes. c) Espaces préhilbertiens réels ou complexes. Produit scalaire, inégalité de CauchySchwarz, norme. Famille orthonormale, méthode de Schmidt. Existence d’une

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partie I Processus en temps discret 1 Chapitre 1 Exemples de processus stochastiques D’une mani`re g´n´rale, un processus stochastique ` temps discret est simplement une suite e e e a (X0 , X1 , X2 , . . . ) de variables al´atoires, d´finies sur un mˆme espace probabilis´. Avant e e e e de donner une d´finition pr´cise, nous discutons quelques exemples de tels processus. e e 1.1 Variables al´atoires i.i.d. e Supposons

utilisés : 1) . 2) - et sont conjugués. - et et et sont opposés. sont conjugués si et seulement si α + β = 0 [2π]. sont opposés si et seulement si α = β + π [2π]. , on utilise (lorsque ) la somme des ter- Pour calculer mes d’une suite géométrique de raison différente de 1, on met en facteur et on utilise les formules d’Euler. 6 2. Polynômes Attention aux confusions de notations entre polynômes et fonctions polynômes. Lorsqu’on écrit une fonction polynôme P, on doit toujours

voie sacrée ». Ce manque de voies de communication avec l’arrière rend encore plus fragile cette partie du front. On remarque que l’armée française est en très mauvaise posture début 1916 du coté de Verdun. Grâce à une armée déterminé et par la suite grâce au général Pétain la France va réussir à Inverser la tendance et garder la possession de la ville. 3. Quels sont les forts de Verdun ? La ville de Verdun est entouré par un trapèze de 45 km de périmètre composé de 28 forts et ouvrages

changement de paradigme a lieu à partir de la mise en évidence des phénomènes d’interférences et de diffraction de la lumière par Thomas Young et Augustin Fresnel au début du XIXe siècle, et en 1850 les modèles ondulatoires deviennent la règle[17] à la suite de l'expérience menée par Léon Foucault sur la vitesse de propagation de la lumière. La prédiction par Maxwell en 1865 du fait que la lumière soit une onde électromagnétique[18], suivie de la confirmation expérimentale de Hertz en 1888[19], semblent