Suite de Cauchy

2 ANALYSE 2.1 Concours communs polytechniques CCP 1 1 n(ln n)α a- Montrer que si α 0 la s´rie de terme g´n´ral un diverge e e e e e b- Lorsque α > 0 ´tudier la convergence de la s´rie un = CCP 2 8 points. 2 fois 1- Soit (fn )n∈N une suite d’applications continues convergeant uniform´ment vers f sur [a,b]. Montrer que e b converge vers a f (x)dx 2- Montrer que 0 1 2 b a fn (x)dx +∞ n=0 xn dx = +∞ n=0 1 (n+1)2n+1 CCP 3 2 fois e e e e e a e 1- Enoncer le th´or`me

Centrale 2015 - PSI 1 un corrigé I. Etude d’une suite récurrente I.A 1. f ′ étant positive, f croit sur [0, 1]. Montrons alors par récurrence que ∀n ∈ N, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1 - Initialisation : c’est vrai au rang 0 car u0 = 0 et u1 = f(0) ∈ [0, 1]. - Hérédité : soit n ≥ 0 tel que le résultat est vrai jusqu’au rang n. On a alors 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1 et par croissance de f sur [0, 1], un+2 − un = f(un+1)− f(un) ≥ 0 En outre, comme [0, 1] est stable par f , un, un+1 ∈ [0, 1] entrâıne un+1 = f(un)

. TABLE DES MATIÈRES 5 4.6.4 Variables aléatoires normales (ou variables gaussiennes) Des inégalités fameuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Inégalité de Bienaymé-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

probabilit´s de trane ıne e sition (p(x, y))x,y est une suite de variables al´atoires ` valeurs dans E telle que e a 1. pour tout x ∈ E, P(X0 = x) = µ0 (x), 2. pour tout n ≥ 1 et pour tout (n + 1)-uplet (x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ E n+1 , on a P(X0 = x0 , X1 = x1 , . . . , Xn = xn ) = µ0 (x0 )p(x0 , x1 )p(x1 , x2 ) . . . p(xn−1 , xn ). En particulier, on aura p(x, y) = P(X1 = y|X0 = x) = P(Xn+1 = y|Xn = x). On notera par la suite p(n) (x, y) = P(Xn = y|X0 = x) = P(Xn+k = y|Xk = x), c’est-`-dire

´crit P (x) = e o e e ap xp = a0 + a1 x + · · · + an xn . Formellement, un polynˆme peut toujours ˆtre repr´sent´ par la suite finie (a0 ,a1 , . . . ,an ) de o e e e i. ses coefficients, ai ´tant le facteur de x e D´finition 1.1.2 Le degr´ de P est le plus grand exposant (ici n si an = 0). Le degr´ du e e e polynˆme nul est −∞ par convention. o D´signons, dans toute la suite, par IK[x] (IK = C ou IR) l’ensemble des polynˆmes ` coefficients e l o a dans IK. 1.1.1.1 Addition de polynˆmes o Soient P

Alexandra GILLET Session 2008/2009 MES MOTIVATIONS For d’une expérience de plus de dix années dans le secteur commercial, j’ai choisi, suite à un licenciement économique, puis un bilan de compétences, de suivre une formation en Gestion des Entreprises option Action Commerciale, afin de valider mes acquis professionnels par un diplôme de Niveau III (équivalent à un Bac +2). L’acquisition de ce diplôme m’apportera non seulement une valeur ajoutée professionnelle

Endomorphismes normaux Notations. — Dans la suite K d´signe un corps commutatif de caract´ristique = 2 (et le plus e e souvent K = R ou C). 1. Endomorphismes remarquables d’un espace quadratique. D´finition . — On dit dit que le couple (E, φ) est un espace quadratique lorsque e E est un K-espace vectoriel et φ une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e sur E, ie : e e e e e e ∀x ∈ E, (∀y ∈ E, φ(x, y) = 0 ⇒ x = 0). Dans la suite de cette section, on fixe (E, φ) un espace quadratique. D´finition

n’assistais pas. Rappelons qu’un anneau noeth´rien c a e est un anneau dans lequel tout id´al est finiment engendr´. Ce qui ´quivaut e e e a ` dire que toute suite croissante d’id´aux de cet anneau est stationnaire. La e question ´tait: cette ´quivalence utilise-t-elle l’axiome du choix? L’ouvrage e e (par ailleur excellent) de Jean Perrin [Per82], et par suite l’agr´gatif au tableau e ce jour l`, affirmait que non. Eric Halberstadt fit remarquer que si et fut je crois a mal compris. De l` vient mon envie d’´crire

orthonormal) de la forme P (x, y) = 0, o` P e u ´ est un polynˆme du second degr´ ` deux variables. Equation o ea r´duite. e MPSI 7 ´ ´ ´ ANALYSE ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Le programme d’analyse est organis´ autour des concepts fondamentaux de suite et de fonction. La maˆ e ıtrise du calcul diff´rentiel et int´gral ` une variable et de ses interventions en g´om´trie diff´rentielle plane constitue un e e a e e e objectif essentiel. Le cadre d’´tude est bien d´limit´ : suites de nombres r´els et de

particulier de la e e ea e e e e m´canique. C’est ` cette ´poque que se d´gagent les principaux r´sultats du calcul diff´rentiel (th´or`me de e a e e e e e e Rolle, accroissements finis, formule de Taylor). C’est au d´but du 19`me que se d´gage, avec Cauchy en particulier, la notion plus g´n´rale de fonction e e e e e continue. Ce n’est que dans la deuxi`me moiti´ du 19eme que la th´orie est solidement fond´e, avec une e e e e d´finition pr´cise des nombres r´els, et la preuve des grands th´or`mes que