Suite de Cauchy

lemme de l’escalier, applications a) Moyenne de Césaro Soient (u n )n∈N∗ une suite dans C, et (vn )n∈N∗ la suite définie par : ∀ n ∈ N∗ , vn = u1 + · · · + un . n Montrer que, si (u n )n∈N∗ converge vers ∈ C, alors (vn )n∈N∗ converge aussi vers . b) Lemme de l'escalier −→ Soit (u n )n∈N une suite dans C telle que u n+1 − u n − − n∞ ∈ C . Montrer : u n+1 un un −− −→ . n n∞ converge vers c) Soit (u n )n∈N∗ une suite à termes dans R∗ . Montrer que, si + un réel > 0, alors √ n u n n∈N∗ n∈N∗

évènements - élémentaires, l’expérimental ou encore l’évènementiel. Ses points ω sont appelés observables ou évènements-élémentaires. Il est très important qu’il soit clairement défini. On peut s’exercer à définir Ω dans les 2 cas suivants : jeter 12 fois de suite la même pièce de monnaie, jeter en même temps 1 1.3. LA TRIBU DES ÉVÈNEMENTS A. 12 pièces de monnaie identiques (on admet que la pièce tombe sur pile ou sur face, et jamais sur la tranche). 1.3 La tribu des évènements A. Les questions

sont conjugués. - et sont opposés. - et sont conjugués si et seulement si α + β = 0 [2π]. - et sont opposés si et seulement si α = β + π [2π]. Pour calculer , on utilise (lorsque ) la somme des ter- mes d’une suite géométrique de raison différente de 1, on met en facteur et on utilise les formules d’Euler. 6 2. Polynômes Attention aux confusions de notations entre polynômes et fonctions polynômes. Lorsqu’on écrit une fonction polynôme P, on doit toujours

un entier naturel non nul. On a : 1 un (α, β) = n et 1 n−1 Aα,β |x − y| ψα,β k=0 k n n−1 k+1 n = k=0 k n ψα,β k n dt n−1 k+1 n B(α, β) = 0 ψα,β (t) d t = k=0 k k+1 n, n k n ψα,β (t) d t k n Par suite, puisque pour k ∈ [[0, n − 1]] et t ∈ est Aα,β -lipschitzienne sur [0, 1], on aura |un (α, β) − B(α, β)| = , on a t − =t− k n 1 n et du fait que ψα,β n−1 k n k+1 n ψα,β k=0 n−1 k n k+1 n k n k n t− − ψα,β (t) − ψα,β

la variance \scriptstyle \sigma^2 : X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2). Parmi les lois de probabilité, elle prend une place particulière grâce au théorème central limite. En effet, elle correspond au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, la loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des mesures

−1 + X + X 2 + · · · + X n . e Montrer que (un ) converge vers une limite l que l’on calculera et donner un ´quivalent de un − l. e Exercice 9.1.13 Soit (un ) une suite d´croissante, telle que : un + un+1 ∼n→+∞ 1 . n 1. Donner un ´quivalent de un . e e 2. Donner un contre-exemple si (un ) n’est plus d´croissante. Soit (vn ) une suite d´croissante, vn + v2n ∼ 1/n, donner un ´quivalent de vn . e e Exercice 9.1.14 Soit f d´finie continue sur [0, 1], donner un ´quivalent de : e e un = Exercice 9.1.15

que de la lumière qu’elles nous envoient. Mais cette seule ressource est bien suffisante pour déterminer les éléments présents dans l’astre et bien d’avantage encore tellement elle est riche en information. La lumière d’une étoile nait en son cœur suite à des réactions thermonucléaires. Après plusieurs millions d’années, elle émerge de ce cœur et traverse la couronne périphérique de l’étoile. La lumière étant blanche et la couronne pleine de gaz de différents éléments, ceux-ci vont alors absorber

contenu et nous avons analysé les vingtdeux entrevues à l’aide du logiciel Atlas.ti. Nous présentons brièvement par la suite nos données organisées en deux sections. La première porte sur les conceptions et pratiques de partenariat des acteurs du Nord, et la deuxième section traite des conceptions et pratiques de partenariat selon les acteurs du Sud. Nous présenterons par la suite le modèle de partenariat qui semble émerger dans le secteur de la coopération internationale, ainsi que les convergences

= x→±∞ e−2iπνx f (x) dx = e−2iπνx f(x) IR lim f(x) = 0 car f et f sont int´grables, d’o` : e u f (ν) = 2iπν IR +∞ −∞ + 2iπν IR e−2iπνx f(x) dx. ˆ e−2iπνxf(x) dx = 2iπν f(ν). 32 UTM-ISMAG M1 MIMA40 C.Hassenforder La suite de la d´monstration se fait par r´currence. e e 2) Cons´quence du th´or`me de d´rivation sous une int´grale : e e e e e d −2iπνt f(t)) ≤ |2πt.f(t)| (e dν qui est int´grable. e ˆ Exemple : Soit f (x) = e−πx . D´terminer (f (ν)) et en d´duire une

elle publie (en français ou en anglais), outre des articles de fond bien sûr, des textes inédits, des études critiques, des bibliographies. L’extrait contenu dans le texte intégral se situe aux pages 167-171, à la fin de l’article. Il intervient suite aux questions concernant les relations entre théories et pratiques, et entre sciences et arts de l’ingénieur. Il traite en particulier de l’avancée "technologique" de l’ingénieur et des hypothèses sur la mathématisation du génie civil et de la construction