Suite de Cauchy

est vraie par hypoth`ese. Si HR(k) alors on dispose des ´equivalences : x ∈ ker f k+2 ⇔ f(x) ∈ kerf k+1 ⇔ f(x) ∈ kerf k ⇔ x ∈ kerf k+1 qui entrainent HR(k + 1). Ainsi par r´ecurrence, ker f k = ker f k+1 pour tout k ≥ p. dk = dim ker f k est une suite croissante major´ee (par n) d’entiers naturels donc elle est constante a ` partir d’un certain rang p. Elle est strictement croissante jusqu’` a ce rang par contraposition du r´esultat pr´ec´edent donc : ∀k ≤ p, k ≤ dk ≤ n. Ainsi p ≤ dp ≤ n et en

Henri Philippe Benoni Omer Joseph Pétain (1856-1951) est un militaire et un homme d'État français, fait Maréchal de France en 1918. Né le 24 avril 1856 à Cauchy-à-la-Tour dans le Pas-de-Calais, il meurt le 23 juillet 1951 à Port-Joinville durant son internement sur l'île d'Yeu en Vendée, où il est inhumé. Comme chef militaire, le maréchal Pétain est généralement considéré comme le vainqueur de Verdun. Comme chef de l'État, son nom est associé à l'armistice de juin 1940 et au régime de Vichy

1. PRÉLIMINAIRES ) ( 10 ) ( 8 > < ) x ' = f ( t, x ) x ( t ) = x(1.3)on dit aussi problème de Cauchy :> 0 0Remarque 1.2. Pour tout ( t 0 , x 0) ∈ U , le problème ( 1.3 ) est équivalent à l’équation intégrale : (

d’un petit segment : tenseur gradient de la transformation . . . 25 2.1.2 Transport lagrangien d’un petit volume : jacobien de la transformation . . . . . . . . . 26 2.1.3 Transport lagrangien d’un produit scalaire : tenseur des dilatations de Cauchy . . . . 28 2.1.4 Variation lagrangienne d’un produit scalaire : tenseur des d´eformations de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 2.1.5 Mouvements de solide ind´eformable : approche par ´etude directe . . . . .

. . . . 61 10. Le problème des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11. Trois applications de la formule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 12. Le théorème de rigidité de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 13. Simplexes contigus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 14. Tout grand ensemble de points a un angle obtus . . . . . . . . . . .

est précisément celui obtenu au centième niveau de transcendance ; disons que nous sommes là au « 2e niveau de métatranscendance ». – Le « 100e niveau de métatranscendance »... – ou le 100e niveau de « méta100 transcendance »... Laissons deviner la suite : ce petit jeu peut continuer passablement4 longtemps, et toutes ces quantités sont finies (et encore, il existe des quantités finies bien plus grande que tout ce qu’on peut obtenir par ce genre de constructions récursives en un nombre de caractères

sacrements de l’Église doivent conduire leurs enfants à des cours de religion qui sont donnés le soir, alors qu’avant les cours de préparation aux sacrements étaient donné à l’école directement. Le gouvernement a du imposer certaines lois aux garderies suite à des subventions qu’ils ont accordés a des garderies qui faisaient une éducation religieuse. Retiré les symboles religieux liés à Jésus, les croix et les images, dans les écoles publiques est-il vraiment équitable? Est-ce que cela donne vraiment

classe) un nombre I(f ), appelé intégrale de f et qui vérifie certaines propriétés (linéarité, positivité, ...). Exemple (fondamental). On retrouve pour la première fois l’exemple suivant (actuellement connu comme l’intégrale de Riemann) dans le cours de Cauchy en 1820. Soit C 0 ([a, b] , R) l’espace des fonctions continues sur un intervalle [a, b] à valeurs dans R. Pour tout f ∈ C 0 ([a, b] , R), la limite suivante existe : I(f ) = b−a N →+∞ N lim N −1 i=0 f (a + i b−a ) N (1) La correspondance

théoriques (e.g., construction du corps des réels par les suites de Cauchy), alors qu’on utilise la terminologie des équations récurrentes (on dit encore équations aux différences ou encore modèles discrets) en modélisation. L’intérêt pratique des équations récurrentes ne fait pas de doute :  Dans la relation calcul formel / analyse numérique (e.g., schéma numérique d’Euler ou de Runge-Kutta), pour la résolution d’une équation à l’aide d’une suite, avec la recherche de la valeur approchée de la solution.

TV2 V-n b =n RT - ou celle de Diétérici : P V-n b exp( naRTV)=n RT L’objectif ici est d’essayer de comparer l’équation des gaz parfaits et celle de Van der Waals. E) Equation d’état de gaz parfait et de Van Der Waals Pour la suite de notre partie, nous étudierons en prenant comme gaz d’étude l’Argon (Ar) 1) Ecrire l’équation d’état du gaz parfait sous la forme extensive et intensive. 2) Ecrire l’équation de Van der Waals sous la forme extensive et intensive. 3) Donnez