Suite de Cauchy

. . . . . . . . . . . . . . . . . 161 12.1. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 12.2. Sur le domaine de définition des fonctions étudiées dans la suite du cours . . . . . . 162 12.3. Limite d’une fonction en un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 12.3.1. Limite (forte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

z0 2 C. En donner une interpr´etation g´eom´etrique. (Indication : construire le parall ´elogramme dont les sommets ont pour affixes 0, z, z + z0, z0.) 4 3. Suites num´eriques Ex. 1 Montrer que la suite d´efinie par u0 = 1 et un+1 = p3 + 2un est convergente. Ex. 2 Que signifie pour la suite (un) : 8A 2 R, 9N 2 N, 8n 2 N (n  N ) un < A) ? Ex. 3 On suppose un ! l. Est-il vrai que l  0 lorsque i) un  0 pour 0  n  1000 ? ii) un2  0 pour tout n 2 N ? Ex. 4 Etudier les limites des suites

COURRIERES. ADECCO, 70 Rue Eugène Haynaut , BETHUNE. CREDIT MUTUEL NORD EUROPE, 8 Place de la République, BETHUNE. SATURN, Rue Bernard Chochoy, LIEVIN. CREDIT AGRICOLE, 54 rue Jules Guesde, WINGLES. DELABROY AUTOMIBILES SAS, 15 Route Nationale SP 7, CAUCHY A LA TOUR. SERVICE DEPARTEMENTAL D'INCENDIE & DE SECOURS DU NORD, 18 rue de Pas, LILLE. REGIE - FÊTE PYROTECHNIE, Chemin du Marquoy, HARNES. LE TEMPLE, 125 Rue Herman, BRUAY LA BUISSIERE. AUCHAN, ZAC des Frais Fonds, LONGUENESSE. 10 Mission principale

nous le traitons dans le cas multivarié. Nous étudions également les diérentes propriétés élémentaires relatives à cet estimateur telle que biais, variance, erreur quadratique moyenne et erreur quadratique moyenne intégrée. Nous détaillons par la suite les méthodes de choix des fenêtres et des noyaux en se focalisant sur l'importance du choix du paramètre de lissage. Nous expliquons explicitement 3 méthodes d'estimation de la fenêtre. Enn, nous concluons par un exemple de données simulées. 2.1

l[U]l,+oo[ cp(x) < OetVx E ]a,O[ cp(x) > 0 " 6) Dresser le tableau de variation de f 7) En prenant a = -3.6 etj(a) = 0.,76, tracer la courbe defen indiquant les asymptotes e~ les ~gentes remarquables. "* "* ° ° ,Exercice 4 : Soit la suite (un) définie par Uo ~ 0, U n+l '= ~ (1 + u~) \;In E N ~~ Mp~trf!f qu.e-(u,,) est crpiss~lltr ' ' : 2) On suppose que (un) converge vers l, quelles sont le's valeurs possibles de 1 ? 3) Si Uo s [0,1 [ ,prouver que (Un) converge et calculer sa limite

= i −θi+2 + 8θi+1 − 8θi−1 + θi−2 + O(∆x4 ) 12∆x (3.30) D´riv´e seconde centr´e a l’ordre 4 : On fait (3.24)-16*(3.25)-16*(3.26)+(3.27) e e e ` d2 θ dx2 = i −θi+2 + 16θi+1 − 30θi + 16θi−1 − θi−2 + O(∆x4 ) 12∆x2 (3.31) et ainsi de suite... On peut aussi construire des formules d´centr´es, progressives ou regrese e sives (voir TD4). 3.2.2 Erreur de discr´tisation e La question qui se pose est ´videmment : ”Quelle erreur commet-on si on remplace e la d´riv´e exacte par la d´riv´e

comp´tences requises pour parler de ces e e questions et nous n’aurions pu que recopier des ouvrages existants, ce qui ne pr´sente gu`re d’int´rˆt, e e e e ´ et d’autre part nous imaginons que les futurs ing´nieurs de l’Ecole y seront confront´s par la suite, et e e disposeront alors des capacit´s pour faire le lien n´cessaire avec la th´orie et les concepts, sur lesquels e e e nous nous sommes focalis´s. e Un autre ´cueil est la place d´volue aux math´matiques. Nous avons choisi de faire peu de rappels

c[. Alors, l est la limite en a de f si et seulement si f transforme toute suite convergente vers a (et prenant ses valeurs dans D \ {a}) en suite convergente vers l, c’est-`-dire : a (xn )n∈N ⊂ D \ {a}, lim xn = a ⇒ n→+∞ n→+∞ lim f (xn ) = l. ´ Demonstration : On suppose tout d’abord que l = limx→a f (x) et on va montrer que f transforme toute suite convergente vers a (et prenant ses valeurs dans D \ {a}) en suite convergente vers l. Soit (xn )n∈N ⊂ D \ {a} t.q. limn→+∞ xn = a. On veut montrer

25.9. Convergence . . . . . . . . . . . . . . . Convergence Absolue . . . . . . . . . Séries géométriques . . . . . . . . . . Séries positives . . . . . . . . . . . . . Critère spécial des séries alternées . Comparaison série-intégrale . . . . . Suite et série des différences . . . . . Calcul exact de sommes de séries . . Calcul approché de sommes de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 62 63 63 64 64 65 65 66 66 35. Projecteurs

prix à l’achat et les prix à la vente sont identiques. Parmi les autres termes, on dira qu’un portefeuille α est un portefeuille de couverture pour un payoff Z, si pour tout ω ∈ Ω, α · S(ω) ≥ Z(ω). Enfin, l’hypothèse que nous ferons dans toute la suite est qu’il existe un unique actif sans risque. Cette hypothèse est très forte, et contredite par la réalité (courbe des taux plate, constante). Arthur CHARPENTIER - Méthodes numériques en Finance 3 15 UN PEU DE MODÉLISATION ET DE MATHÉMATIQUES