Suite de Cauchy

base de la modélisation des systèmes linéaires continus. Elle contient l’ensemble des notions essentielles à l’étude générale de l’automatique, concepts qui restent valables dans toute la suite de l’étude, y compris pour les systèmes non linéaires ou à temps discret. Il est conseillé au lecteur de n’aborder la suite de l’étude qu’une fois ces notions maîtrisées : transformation de Laplace, spectre, comportement fréquentiel, etc. L’étude de l’automatique proprement dite, à savoir les systèmes bouclés

Polynôme annulateur Dé…nition 1.5 : P 2 |[X] est un polynôme annulateur de u (resp. de A) si P (u) = 0 (resp. P (A) = 0): On note Ann(u) = fP 2 |[X]=P (u) = 0g; l’ ensemble des polynômes annulateurs de u appelé l’ annihilateur de u: Dans toute la suite de ce chapitre, on suppose E de dimension …nie n: Polynôme minimal Théorème 1.6 : On suppose E de dimension …nie ; alors 9! mu 2 |[X]; unitaire tel que : mu (u) = 0 8P 2 |[X]; P (u) = 0 =) mu divise P: Preuve : Considérons l’ application u dé…nie dans

considère ai ∈ R et bj ∈ R tels que ai + bj = 0. Calculer det 1 ai +bj Exercice 74 [ 00742 ] [correction] Soient x1 , . . . , xn ∈ C. Calculer 1 1 . . . 1 x1 x2 . . . xn x2 1 x2 2 . . . x2 n ··· ··· ··· xn−1 1 xn−1 2 . . . xn−1 n (déterminant de Cauchy). 1 i,j n Traiter en particulier le cas ∀i ∈ [[1, n]] , ai = bi = i (déterminant de Hilbert) Vn (x1 , . . . , xn ) = Exercice 79 [ 00749 ] [correction] 1 i+j−1 Etablir que l’inverse de la matrice H = est à coefficients entiers

− z)) + (1 − α)(t + (y − z)). x − (t + (x − z)) = z − t < r, donc, (t + (x − z)) ∈ B(x; r) ⊂ C . De même, on montre que (t + (y − z)) ∈ B(y; r) ⊂ C . Et comme C est convexe, t = α(t + (x − z)) + (1 − α)(t + (y − z)) ∈ C . Donc B(z; r) ⊂ C , et par suite, z ∈ C . D'où C est convexe 9 o o o o Dénition 1.3.1. On appelle enveloppe convexe fermée d'une partie A de E et on note co(A) le plus petit convexe fermé contenant A. Proposition 1.3.2. Soit A une partie de E. Alors l'envellope convexe de fermée

G2 (s) = 3. Cas particuliers : 1 1−T s , G3 (s) = (1 + T s), G4 (s) = (1 − T s) – Int´grateur pur : 1er ordre o` 1/T est tr`s petit. G(s) = 1/s. e u e – Retard pur : G(s) = e−T s 4. Forme g´n´ralis´e : G(s) = K 1+T1 s e e e 1+T2 s Par la suite, seule sera trait´e la forme canonique, la repr´sentation fr´quentielle des e e e autres formes pouvant ˆtre d´duites facilement de cette derni`re moyennant quelques e e e translations et/ou r´flexions. e 4.2.2 R´ponses temporelles e On consid`re

60 60 61 62 63 63 64 65 67 67 69 70 70 SEQUENCE 4 : RESISTANCE DES SOLS AU CISAILLEMENT 83 NOTION DE CONTRAINTE. DEFINITION DU VECTEUR CONTRAINTE 83 LES FORCES 83 EXEMPLE 83 VECTEUR DE CONTRAINTE 84 POSTULAT D'EULER-CAUCHY 84 LA NOTION DE CONTRAINTES POUR UN MATERIAU EST UNE NOTION FICTIVE ANALOGUE A LA NOTION BIEN CONNUE DE TENSION D’UN FIL : SOIT UN FIL SOUPLE EN EQUILIBRE SOUS L’ACTION DE FORCES EXTERIEURES S’EXERCENT A SES EXTREMITES (FIGURE 68). LE FIL EST

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.4 Arrˆet optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4.2 Enveloppe de Snell d’une suite adapt´ee . . . . . . . . . . . . . 53 5.4.3 Cadre markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.4.4 Approche du cas Markovien par l’enveloppe de Snell . . . . . . 55 5.4.5 Approche du cas markovien par la programmation dynamique

contamin´es par la grippe de Hong-Kong ` un moment donn´ e e a e ne constitue pas une population recens´e. e La suite des cotations d’une valeur aupr`s d’un march´ boursier (nyse, lse, euronext, ...) e e est aussi une population. L’ensemble des cotations ` un moment donn´ sur une place boursi`re est a e e aussi une population. ´ Definition 1.2 [echantillon] Un ´chantillon est une suite finie d’individus issus d’une populae tion. L’ordre des individus au sein de l’´chantillon peut ˆtre important ou

maximum de f sur ∆ et de son abscisse. Visualiser le tracé du graphe de f . 6 ϕ(x) = x dt ln t a) Montrer que ϕ est bien définie et que cette fonction se prolonge par continuité en 0 et en 1. b) En déduire la valeur de 1 x−1 dx ln x 0 Suite dont le terme général est défini par une intégrale Exercice 55 [ 01994 ] [correction] Pour p et q entiers naturels, on pose : Exercice 52 Centrale PC [ 00088 ] [correction] Soit f continue de R dans R telle que 2y+x b ∀(x, y) ∈ R , f (x)

siècle est de quelque manière un siècle de transition, mais cela n'empêche pas une croissance tout à fait significative pour la plupart des grands domaines scientifiques. Les sciences de la vie et de la terre connaissent un grand développement à la suite des voyages en Afrique et dans le Pacifique : on doit citer Georges Louis Leclerc, comte de Buffon (1707-1788), Carl Von Linné (1707-1778), Georges Cuvier, et JeanBaptiste Lamarck (1744-1829). Le XVIIIe siècle est aussi un siècle d'inventaire des connaissances