Suite définie par récurrence

Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2002 E XERCICE 1 1. Soit la suite (un ) définie par u1 = enseignement obligatoire 1 et par la relation de récurrence : 2 1 1 un+1 = un + . 6 3 2 a. Soit la suite (v n ) définie pour n 1 par v n = un − ; montrer que (v n ) est 5 une suite géométrique dont on précisera la raison. b. En déduire l’expression de v n en fonction de n puis celle de un . 2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches.

poème avec d'abord l'omniprésence des pronoms de 1ère personne du singulier "J'avais" vers 1 "j'aime" vers 5 "mon pas" vers 9 "je me sens" vers 14, qui marque l'implication du poète et revoie l'expression des sentiments profonds avec notamment la récurrence du verbe "aimer" "J'avais rêvé d'aimer, j'aime encor mais l'amour" vers 1. D'ailleurs ce vers est répété deux fois dans le texte en début de strophe, faisant ainsi penser à un refrain qui renvoie au domaine musical et fait écho à la "lyre" qu'il

paramétriques y = − 7t (t ∈ R).   2   z = 2+t b. le plan d’équation cartésienne 9x − y + 2z + 11 = 0. c. le plan d’équation cartésienne x + 7y − z − 7 = 0. Exercice 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On considère la suite (un ) d’entiers naturels définie par u0 un+1 = = 14 5un − 6 pour tout entier naturel n 5 points 1. Calculer u1 , u2 , u3 et u4 . Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ? 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+2 ≡

(R) canoniquement représenté par A. a) Exprimer ϕ(P ) pour tout P ∈ Rn [X]. b) Calculer Am pour tout m ∈ N. c) Calculer A−1 . Déterminer le rang de M en fonction de celui de C. Exercice 29 [ 00715 ] [correction] Soient a ∈ C et f : C → C définie par f (z) = z + a¯. z Former la matrice de l’endomorphisme f du R-espace vectoriel C dans la base (1, i). Déterminer image et noyau de f . Exercice 26 [ 00747 ] [correction] Soit M ∈ Mn (K) une matrice de rang r décomposée par blocs sous la forme

Montrer par récurrence sur n , que 5 4 n − 1 est divisible par 13 b – En déduire que : 5 4 n +1 − 5 , 5 4 n + 2 − 12 et 5 4 n + 3 − 8 est divisible par 13. c – Déterminer alors le reste de la division par 13 du nombre 5 2011 . 3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre A p défini par : A p = 5 2 p + 5 4 p a – Si p = 2 n , quel est le reste de la division de A p par 13. b – Démontrer que, si p = 2 n + 1 , A p est divisible par 13. 4) On considère la suite (U n )n ≥ 2 définie par : U

b) Calculer a2 − 2b2 . n n c) En déduire que an et bn sont premiers entre eux. Exercice 24 [ 01210 ] [correction] On note div(n) l’ensemble des diviseurs positifs d’un entier n ∈ Z. Soient a, b ∈ Z premiers entre eux et ϕ : div(a) × div(b) → N définie par ϕ(k, ) = k . Montrer que ϕ réalise une bijection de div(a) × div(b) vers div(ab). Exercice 25 [ 01211 ] [correction] Soient a et b deux entiers relatifs tels que a2 | b2 . Montrer que a | b. Exercice 26 [ 01212 ] [correction] Soit x ∈ Q

chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds. Lors de la construction d’une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul, par : un = 2 000 × 1,008n – 1 où un représente le coût en euros du forage de la n-ième dizaine de mètres. On a ainsi u1 = 2 000 et u2 = 2 016, c’est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2 000

coefficient binômial. Exercice 4 : On considère la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f (x) = 1. ln x x + 1 − x. a. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. b. Justifier que f est dérivable sur ]0, +∞[ et que f ′ (x) est du signe de N (x) = −[2(x x − 1) + ln x]. d. Dresser le tableau de variation de f . c. Calculer N (1) et déterminer le signe de N (x) en distinguant les cas 0 < x < 1 et x > 1. 2. On définit une suite (u n )n∈N par son premier terme u 0 élement de [1,2] et

2 n or d’après la question 3a, vn1  vn2 2 2  2n 2 2n 1  donc vn1    v0     v0    v0  c’est à dire P  n  1 vraie.   Conclusion : La proposition P  n  est vraie au rang 0 , et est héréditaire, donc, d’après l’axiome de récurrence, la proposition n 0 1 u0 1b) u1 u2 u3 P  n  est vraie pour tout entier naturel n. 2 x u4 n Ccl : n  , vn  1  a  . 2 Ccl :  un n0 semble croître, être minorée par 0 et majorée par 1, et enfin converger vers 1. n 3c) ● D’après

naturel n, A n+1 = f (A n ). 1. a. Étant donné un point M d’affixe z, déterminer en fonction de z l’affixe z ′ du point M ′ image de M par f . 1 b. Construire les points A0 , A1 , A2 et A3 dans le cas particulier où k est égal à . 2 a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l’affixe z n du point A n est égale à inπ kne 3 . → − b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point A n appartient à la demi droite O ; u et, dans ce cas, déterminer en fonction de k et de n l’abscisse de A n .