Suite définie par récurrence

1 − e−2x . 1 1 1 ln 2 = 1 − e− ln 2 = 1 − eln 2 = 1 − = donc la proposition 2 est vraie. Alors : u 2 2 2 3. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = Effectuons une démonstration par récurrence. Soit Pn la proposition : « 0 u n 7 » • (initialisation) u 0 = 2 donc 0 u0 7. P0 est vraie. 7u n . On a montré que la par récurrence que la proposition est vraie pour tout n, donc la proposition 3 est vraie. • (Hérédité ) Supposons Pn vraie pour un rang n

But du TP : On cherche numériquement le minimum d’une fonction f unimodale définie sur l’intervalle [a, b]. Pour cela, on va utiliser les méthodes de dichotomie sans et avec dérivées et la méthode de Newton-Raphson et et les appliquer sur quelques fonctions. Question 1 : ➢ Méthode de dichotomie sans dérivées ; Il s’agit de considérer un intervalle plus petit [a’1, b’1] tel que a’1= (1-ρ1)a0+ ρ1b0 et b’1= ρ1a0+(1- ρ1)b0 ou 0 < ρ1=-1définie par F-1=0,F0=1, Fk+1=Fk+Fk-1 Montrons que

(4,93) ≈−0,005, donc 4,92 &lt;α&lt; 4,93. 5. D’après la question précédente on peut dresser le tableau de signes de g sur ]0 ; +∞[ : x 0 1 α +∞ g (x) −−− 0 +++ 0 −−− PARTIE B : Étude de la fonction f On considère dans cette partie la fonction f , définie sur ]0 ; +∞[,par f (x)= 3x −x ln(x)−2ln(x). On note f ′ la fonction dérivée de f . La représentation graphique C f de cette fonction f est donnée dans le repère ( O ; −→ ı , −→  ) ci-dessous. On admet que : lim x→0 f (x) =+∞. Amérique du Sud 3 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.2.8 Équivalences . . . . . . . 4.2.9 Quantificateurs . . . . . . Vocabulaire . . . . . . . . . . . . Raisonnement par récurrence . . . 4.4.1 Récurrence simple . . . . 4.4.2 Récurrence à plusieurs pas Exercices . . . . . . . . . . . . . Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

autre chemin que celui de la géométrie permet de mieux comprendre les propriétés du nombre d'or, l'arithmétique. Elle met en évidence ses propriétés algébriques ainsi que les profondes relations entre des sujets apparemment aussi différents que la suite de Fibonacci ou sa relation avec de difficiles équations diophantiennes. Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont entiers et dont les solutions recherchées sont entières. Pour citer un exemple célèbre, celui-ci correspond

extérieures à cette discipline à ses aspects mathématiques. Pourtant, et dès l'origine, elle vise essentiellement à la résolution de problèmes pratiques qui sont des défis au sens commun. C'est pourquoi il m'a paru nécessaire, dans cette introduction, de définir la Recherche Opérationnelle. Je m'appuie pour cela sur les écrits de Robert FAURE. Les problèmes combinatoires sont des défis au sens commun. Ils sont donc étudiés mais ils restent méconnus y compris par de nombreux informaticiens. En effet, certains

du temps qui s’enfuit » (allégorie). * Récurrence du verbe « passer » (v.5) aux 2 hémistiches. * Enjambements, rejets et contre-rejets (v.5-6, 7-8, 10-11, 11-12). b) Un temps universel * Pluriel du titre (malgré le déictique « ce » au v.1 qui contextualise le poème : on imagine un poète face au sublime spectacle du coucher de soleil). * Absence de géographie précise (les éléments de la nature sont juste cités) mais de temps défini (« soir », « aube », « nuits », « jour »).

dans son contexte : utiliser les informations du paratexte pour identifier l’auteur et son époque, l’œuvre dont est extrait le texte, son genre. ÉTAPE 1 : TRAVAIL DE RECHERCHE DES IDÉES DIRECTRICES Il existe deux méthodes pour trouver et définir des idées directrices de lecture : ➢ l’une part du relevé des indices (lexicaux, syntaxiques, stylistiques : champs lexicaux, parallélismes, images…) et conduit à présenter la synthèse organisée des remarques faites sur le texte. La démarche

une expression « simple » de S. c. Montrez alors que pour α et β suffisamment grands on a S a b ≈ . . N a−1 b−1 3. Application numérique : N = 51007 200 ; trouver une valeur approchée de S. Rappel : la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est u0 1 − qn+1 . 1− q Exercices Baccalauréat Polynésie 2010 Les parties A et B sont indépendantes Partie A On considère l’équation (E) : 7 x − 6 y = 1 où x et y sont des entiers naturels

Fonctions continues Fonctions dérivables Compléments sur les fonctions dérivables Logarithmes et exponentielles Fonctions circulaires et réciproques Fonctions hyperboliques et réciproques Suites numériques Suites particulières Intégrales définies Calcul des primitives Formules de Taylor Intégrales généralisées Équations différentielles du premier ordre Équations différentielles linéaires du second ordre Systèmes différentiels Séries numériques Suites de fonctions Séries de fonctions