Suite définie par récurrence

2 Exercice 2. Pour les élèves ne suivant pas l’enseignement de spécialité (5 points) La suite (u n ) est définie par : u0 = 1 1. a. Démontrer que, pour tout n b. En déduire que pour tout n et 3, u n 1 pour tout n ∈ N, u n+1 = u n + n − 1. 2 0. 4, u n n − 2. c. En déduire la limite de la suite (u n ). 2. On définit la suite (v n ) par : v n = 4u n − 8n + 24. a. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique décroissante dont on donnera le premier terme et la raison. b. Démontrer que pour

. . . . . . . . . . . . . . 309 310 311 312 94 Quadriques 313 95 Torseurs 316 96 Géométrie euclidienne en dimension 2 317 97 Géométrie euclidienne en dimension 3 318 98 Courbes paramétrées 321 99 Courbes en polaires 323 100Courbes définies par une condition 324 101Branches infinies 326 5 102Points de rebroussement 327 103Enveloppes 327 104Rectification, courbure 329 105Courbes dans l’espace 331 106Surfaces paramétrées 332 Première partie Algèbre générale 1 Applications

théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer les limites suivantes

fonction f 1 définie sur R par : f 1 (x) = x + e−x 1. Justifier que C 1 passe par le point A de coordonnées (0, 1). 2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f 1 . On précisera les limites de f 1 en +∞ et en −∞. Partie B L’objet de cette partie est d’étudier la suite (I n ) définie sur N par : I n = 1 0 x + e−nx dx. → → − − 1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; ı ,  , pour tout entier naturel n, on note C n la courbe représentative de la fonction f n définie sur R

tant que C-espaces vectoriels par E et F en tant que R-espaces vectoriels , une fonction différentiable pour C est différentiable pour R ; par contre la réciproque n’est pas garantie dans le cas général ; il faut que la différentielle sur R soit définie et que la différentielle sur R soit linéaire et continue en tant qu’application entre C-espaces vectoriels (c’est à dire appartienne à LC (E, F )). Démonstration : Sans grande difficulté, et laissée au lecteur. 1.1.2 Applications à valeurs dans

v 79 80 82 85 87 88 11 Suites numériques 11.1 Comportement global . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Suites définies par une relation de récurrence . 11.3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . 11.3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . 11.3.3 Suites définies par un+2 = aun+1 + bun 12 Séries 12.1 Séries numériques . . . . . . . . . . . 12.1.1 Généralités . . . . . . . . . . 12.1.2 Séries géométriques . . . . . . 12.1.3 Séries à

premier terme 100. 2 La suite (dn) semble décroître. d c. Par hypothèse de l’exercice, dn + 1 = n . 2 1 Donc la suite (dn) est une suite géométrique de raison et de premier terme 100. 2 d. On a d0 = 100 et on divise à chaque fois par 2 d’où 0 < dn ⩽ 100 pour tout n ∈ ℕ. 3 l On a montré que dn > 0 pour tout n ∈ ℕ donc Achille ne rattrape jamais la tortue ce qui semble un peu surprenant car il est évident qu’il le fera en réalité. 1 4 l (dn) est une suite géométrique de raison 2

siècle, les mathématiciens se sont retrouvés coincés face à un grand nombre de problèmes. L’une des raisons principales de leurs échecs est le fait que les mathématiques ne reposaient alors pas sur des bases solides. Les objets et concepts étaient définis de manière imprécise alors que les problèmes mathématiques nécessitaient une rigueur plus grande qu’auparavant. Les mathématiciens ont donc commencé à s’intéresser à la structure de leur langage et ils ont choisi comme notion de base la notion d’ensemble

coplanarité de trois vecteurs, interprétation géométrique de | det(u, v , w )| (volume), calcul dans une b.o.n.d. D) Droites, plans et sphères 1 - Plan : défini par un point et un vecteur normal, par un point et deux vecteurs non colinéaires, par trois points non alignés. Équation cartésienne. Caractéristation des plans parallèles. 2 - Droites définies par un points et un vecteur directeur, deux points distincts, représentations paramétriques, droite intersection de deux plans. Perpendiculaire commune

ouvrir ce "qui " à d’autres perspectives, plus subjectives ? On montrera d’abord qu’une réponse exacte est possible sous certaines conditions, mais que certains aspects du " qui " rendent une réponse qu’on ne peut pas fournir. On se demandera par la suite qui est le mieux placer pour répondre à cette question, ou du moins en partie. On terminera par s’interroger pour savoir si apporter une réponse au "qui suis-je? " serait appréciable. On peut apporter une réponse exacte si l’on se préoccupe