Suite définie par récurrence

−e e −1 it it pour tout t ≠ 2kπ. En déduire que : π  p =1 1 1 = Re 2 2π p 0 t ( t − 2π ) i ( n + 1) t e − e it dt it e −1 t (t − 2 π) se prolonge en une fonction de classe C1 it e −1 ∞  4. Démontrer que la fonction ƒ définie sur ]0, π] par ƒ(t) = sur [0, π]. 5. À l'aide du lemme, déduire des questions précédentes que : Autour de zêta(2) Page 1  ¨ ©¦§ £¤¥ b a e iλt ƒ (t ) dt = 0. π 0 (at 2 + bt ) cos(nt ) dt = 1 n2 ( ) p =1

l’appréciation des copies. 12MASCOPO1 Page 1/6 EXERCICE 1 (5 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) . 50   On considère les points B (100,100) et C  50,  et la droite (D) d’équation y = x . e  On note f la fonction définie sur R dont la courbe représentative, notée Γ , est donnée en annexe, page 6. On suppose de plus qu’il existe deux réels a et b tels que : • pour tout x réel, f ( x) = x e a x +b • les points B et C appartiennent à la courbe Γ . 100a + b = 0  1)

résultat avec la probabilité de l’évènement A calculée à la question 1. b.. Quel commentaire peut-on faire ? Exercice 2 (5 points) Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Partie A Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = ln(x) . x2 Sa courbe représentative (C), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés ci-dessous : 1 Bac S, Réunion - Juin 2008 www.cymeo.fr Réunion - Juin 2008 2 1

/ x2 < 7). D'abord : VXEA x217 O et xO z O . Ainsi, on a construit une suite géométrique d'éléments de E, de premier terme xo et de raison xo E IO, 1[. Cette suite est convergente et tend vers O. D'où : Donc, en particulier xl=$e E et O < XÔ < E. Y D'où V & > O 3 x 1 E telque ~ OO 3z0eC telque -- 2 fi< z , < - -A . +& 2 2 Ce qui montre que inf C = - 2 1.10. (Coupures de DEDEKIND). Soit f la fonction définie de R dans W par f(x) = x3 + x - 1 . 1") Etudier la monotonie de f. 2")

+ 1) réels distincts, montrer que les polynômes définis par : n Li (x) = j=0 j=i (x − xj ) , pour i ∈ 0, n forment une base de Rn [X]. (xi − xj ) 2 - On donne de plus (n + 1) réels : y0 , y1 , y2 , . . . , yn . Montrer qu’il existe un et un seul polynôme L de Rn [X] tel que : ∀i ∈ 0, n , L(xi ) = yi . Ecrire L à l’aide des Li . 1 n n 3- Calculer les sommes : i=0 Li (x) et i=0 xi Li (x). 4 - Soit φ la fonction définie sur R+ par : φ(t) = 1 , a désignant un réel strictement

Définition d’une suite : Une suite (un) est une fonction définie sur l'ensemble ¥ qui à tout entier naturel n associe un et un seul réel noté un. Autrement écrit : ¾¾® (un) : ¡ ¥ ¾¾® n un = u(n) Remarque : l'image de l'entier n est notée un au lieu de u(n). A retenir : On dit que un est le terme de rang n ou le terme d’ordre n ou le terme d’indice n de la suite. un est aussi appelé le terme général de la suite (un). Avec quoi peut-on définir une suite ? Il y a deux manières de définir une suite : Par une

(u n ) la suite définie par u0 u n+1 = 1 = u n − ln u n2 + 1 pour tout entier naturel n. Partie A Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x − ln x 2 + 1 . 1. Résoudre dans R l’équation f (x) = x. 2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. En déduire que si x ∈ [0 ; 1] alors f (x) ∈ [0 ; 1]. Partie B 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n 0, u n ∈ [0 ; 1]. 2. Étudier le sens de variation de la suite (u n ). 3. Démontrer que la suite (u n ) est

et telle que a0 = 1 (ou plus généralement a0 = 0). 1. Montrer qu’il existe une et une seule suite (bn )n∈N telle que ∀n ∈ N, ∑nk=0 ak bn−k = δ0,n . n 2. Montrer que la série entière ∑+∞ n=0 bn z a un rayon strictement positif. Correction [005750] Exercice 7 *** I Pour n ∈ N, on pose Wn = (Wn )n∈N . π/2 cosn t 0 dt. Rayon de convergence et somme de la série entière associée à la suite Correction [005751] Exercice 8 *** 1 Calculer ∑+∞ n=1 n cos 2nπ 3 xn pour

pratiques . Par exemple, les signaux du type z(t) = 0 0(0 où 0(t) désigne une phase polynomiale se rencontrent dans le traitement des signaux radar. L' analyse et la détection de tels signaux fait intervenir la notion de la fréquence instantanée (FI) définie par la dérivée du polynôme 0(t) . Signalons que cette définition est utilisée pa r abus de langage . Ainsi des techniques récentes ont été introduite s pour traiter ces signaux . Parmi ces techniques, on peut citer le s transformations intégrales

net de la proposition A en 2022+n. • Bn le montant du salaire mensuel net de la proposition B en 2022+n. • Cn le montant du salaire mensuel net de la proposition C en 2022+n. On défini alors les suites (An), (Bn) et (Cn) pour tout n entier naturel. 1. a. Donner les valeurs de A0 , B0 et C0 b. Donner les formules de récurrence associées à chacune des trois propositions. Qu’en déduisez vous pour la nature des suites (An) et (Bn) ? Vous préciserez leur caractéristiques. 2. Reproduire la feuille de calcul