Suite définie par récurrence

HAKAM Email : s-hakam@fsr.ac.ma Année 2003-2004 1 Chapitre I : SUITES NUMERIQUES1 Objectif du chapitre : 1) Donner la définition d’une suite et utiliser les notations adéquates 2) "Déterminer" le terme général d’une suite 3) Utiliser les raisonnements par l’absurde et par récurrence 4) Etudier la monotonie d’une suite. 5) Etudier la nature d’une suite 6) Résoudre certains exercices et problèmes implicant des suites. Plan du chapitre : 1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations

CONSECUTIFS D'UNE SUITE avec Algobox. On cherche à créer un algorithme qui calcule la somme des termes consécutifs d'une suite, entre 2 rangs p et q, c'est à dire que l'on veut calculer S=U(p)+U(p+1)+..........+U(q). Les données dont on aura besoin sont : L'entier p qui est le plus petit rang de la suite qui intervient dans la somme. L'entier q qui est le plus grand rang de la suite qui intervient dans la somme. La définition de la suite. Pour définir la suite on retiendra les

LYCEE LE LIKESDEVOIR DE MATHÉMATIQUES23/09//2014 TS4DURÉE 2H corrigé Exercice 1 Étudier la convergence des suites définies ci-dessous. un=n+n-1n, n∈ℕ* On a : limn→+∞n=limn→+∞n= +∞ et limn→+∞1n=0 D’où par somme : limn→+∞un= +∞ un=2n3-5n2-n, n∈ℕ On a, pour n≠0 : un=n3(2-5n-1n2) Or limn→+∞n3= +∞ etlimn→+∞2-5n-1n2=2 par quotient et somme D’où, par produit :limn→+∞un= +∞ un= 2n2-n-13-n2, n∈ℕ On a, pour n≠0 : un=2-1n-1n23n²-1 Or limn→+∞2-1n-1n2=2 par quotient et somme

alors montrer, en distinguant les cas, que a2 − b2 est divisible par 3. – Si a = 3k + 1 et b = 3k � + 1 avec k, k � ∈ N : a2 − b2 = (3k + 1)2 − (3k � + 1)2 = 9(k 2 − k �2 ) + 6(k − k � ) = 3(3(k 2 − k �2 ) + 2(k − k � )). Donc 3 | a2 − b2 et par suite, 3 | ab(a2 − b2 ). – Si a = 3k + 1 et b = 3k � − 1 avec k, k � ∈ N . . . – Si a = 3k − 1 et b = 3k � − 1 avec k, k � ∈ N . . . 2. – Si a = 3k − 1 et b = 3k � + 1 avec k, k � ∈ N . . . 1er cas x ≤ y. Comme x ≤ y, x − y ≤ 0 et donc |x − y|

rectangle en A si et seulement si AB2 + AC2 = BC2. B B A Vecteurs et calcul vectoriel 1. Vecteurs Dans la séquence 1 nous avons vu. Définition Un vecteur est un « objet mathématique » qui caractérise une translation. S’il n’est pas nul, il est défini par la donnée : d’une direction, d’un sens, et d’une longueur (on dit aussi une norme). Commentaire Propriétés Soient A, B, C et D quatre points du plan. On a : AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu (c’est-à-dire

EXERCICES MPSI II. 1) NOTATIONS R. FERRÉOL 13/14 A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME ET 1. : Sommes des puissances p-ièmes des n premiers entiers. n n n n n(n + 1) Posons : an = k= ; bn = k2 ; cn = k3 ; dn = k4 . 2 k=1 k=1 k=1 k=1 n (a) En remarquant que cn+1 = 3 (k + 1) , montrer que cn+1 = cn + 3bn + 3an + n + 1 ; en déduire la valeur de bn . k=0 (b) Montrer de même que dn+1 = dn + 4cn + 6bn + 4an + n + 1 ; en déduire la valeur de cn . 2 n (n + 1) (2n + 1) n(n + 1) ; cn = Rep : bn = 6 2

Définitions : Définition 1 : Soit u n  une suite. 1. La suite u n  est majorée s’il existe un réel M tel que u n ≤M pour tout entier n. 2. La suite u n  est minorée s’il existe un réel m tel que u n ≥m pour tout entier n. 3. La suite u n  est bornée si elle à la fois majorée et minorée. Remarque 1 : Soit une fonction f majorée (resp. minorée, bornée),  Si la suite u n  définie par u n = f n  existe alors elle est majorée (resp. minorée, bornée).  Si une suite  v n  vérifiant v n1= f  v n 

globale d'une suite ADéfinition et représentation graphique Une suite numérique est une fonction de \displaystyle{\mathbb{N}} dans \displaystyle{\mathbb{R}}. Pour désigner la suite \displaystyle{u}, on peut écrire \displaystyle{(u_{n})}. L'écriture \displaystyle{u_{n}} désigne en revanche le terme de rang \displaystyle{n} de la suite \displaystyle{u}, c'est-à-dire \displaystyle{u(n)}. La fonction définie pour tout entier naturel \displaystyle{n} par \displaystyle{u(n) = 2n+1} est une suite. Il existe

(détails) ........................................................ 34 Le théorème de CALEY-HAMILTON (pour les matrices 2x2)......................... 35 Algorithme de calcul de la puissance nième ....................................................... 36 Suite numérique associée à la puissance nième .................................................. 37 La puissance nième d’une matrice (propriétés) .................................................. 38 Solution de l’exercice 17............................

convergence. Propriété : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Remarque : cette propriété ne donne pas la valeur de la limite mais uniquement son existence et une inégalité sur la limite. En effet, si (un) est croissante et majorée par le réel K alors pour tout n, un ≤ K et donc d’après le théorème de comparaison lim un # K . n! +" Propriété : une suite croissante non majorée a pour limite +∞. Une suite décroissante non minorée a pour limite