Suite

Formules concernant les suites arithmétiques et les suites géométriques I Suites arithmétiques 1°) Définition : On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique et est souvent noté r). 2°) Exemple : Suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 : 2 5 8 11 14 17 etc. 3°) Notations possibles : Si on note u0 le premier terme, on a : u0 = 2, u1 = 5, u 2 = 8, etc. et, dans

1 C H A P I T R E Suites numériques Introduction 1. Programme Contenus Suites Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d’une suite. Limites et comparaison. Opérations sur les limites. Comportement à l’infini de la suite ^qnh , q étant un nombre réel. ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S Suite majorée, minorée, bornée. Capacités attendues Commentaires • Savoir mener un raisonnement par récur- Ce type de raisonnement intervient tout au long de l’année

Exercice 1 Soit un une suite arithmétique de raison r. Compléter les expressions suivantes : a. u12 = u5 + . . . c. u3 = u8 + . . . Exercice 2 Soit vn une suite géométrique de raison q. Compléter les expressions suivantes : a. u7 = u3 × . . . c. u3 = u8 × . . . Exercice 3 Soit un une suite dont on connait la valeur des deux n∈N termes suivants : 9 u6 = 36 ; u10 = 4 Montrer qu’il existe deux suites géométriques vérifiant ces conditions. Exercice 4 b. u25 = u11 × . . . d. u15 = u23 × . . . b. u57 =

SUITES NUMÉRIQUES I. Déterminer le terme de rang n d’une suite arithmétique : • Exemple : Calculer le 13e terme d’une suite arithmétique de premier terme u1 = 1,75 et de raison r = 3,5. • Méthode : On utilise la relation un = u1 + ( n − 1) r • Solution : u13 = 1,75 + (13 − 1) × 3,5 u13 = 1,75 + 12 × 3,5 = 1,75 + 42 ⇒ u13 = 43,75 II. Déterminer la raison r d’une suite arithmétique : • Exemple : Calculer la raison r d’une suite arithmétique de premier terme u1 = 3,4 sachant que u16 = 34,9. • Solution

(7 pts) 1. La suite (un ) est d´efinie pour tout entier naturel n par un = n2 − 3n + 2 est-elle arithm´etique ? 2. (un ) est une suite arithm´etique de premier terme u1 et de raison r telle que u12 = 25 et u20 = 49. Exprimer un en fonction de n puis calculer u1 + u2 + ....... + u30 . 3. (un ) est une suite g´eom´etrique de raison q = 0, 4 et de premier terme u0 = −3. Etudier les variations de la suite (un ). 4. Calculer 1 + 2 + 4 + 8 + 16 · · · + 16384 + 32768 en utilisant une suite g´eom´etrique

o Suite de nombres espacés d’une valeur constante, appelée raison Ex : 2 4 6 8 +2 +2 +2 … +r +r +r : valeur : rang o On note : Savoir être pour agir avec Sens 8/33 1.1 Suites arithmétiques Calcul des termes o On veut calculer sans connaître 2 2 ⋯ Soit : Et plus généralement : Ex : Dans une suite de raison 3, on connait D’où : 22 5 3 7 22 3 Savoir être pour agir avec Sens 9/33 1.1 Suites arithmétiques Représentation graphique  8  6 0 : suite croissante

Centrale PSI 09 - Math 1 Un corrig´. e 1 R´organisation des termes d’une s´rie semi-convergente. e e A.1. On suit la d´finition de l’´nonc´. e e e suite:=proc(x,n) local k,p,q,s,S,list; p:=0;q:=0;S:=0;list:=[]; for k from 1 to n do if S>x then q:=q+1;s:=2*q-1 else p:=p+1;s:=2*p fi; S:=S+(-1)^s/s ; print(evalf(S)); list:=[op(list),s] od ; list end : A.2. Voici, ` titre indicatif, une fonction permettant l’affichage des points (n, Sn ). a suite2:=proc(x,n) local k,p,q,s,S,list; p:=0;q:=0;S:=0;list:=[[0

restent présents le 1er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. On s’intéresse au nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite (u n ) admettant pour premier terme u 0 = 115, le terme u n donnant une estimation du nombre d’oiseaux l’année 2013 + n. 1. Calculer u 1 et u 2 . Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 2. Les spécialistes déterminent le nombre

l’enseignement de spécialité) On considère la suite de nombres complexes (zn ) définie par z0 = √ 3 − i et pour tout entier naturel n : zn+1 = (1 + i)zn . Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. 1) Calculer u0 . 2) Démontrer que (un ) est la suite géométrique de raison √ 2 et de premier terme 2. 3) Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n. 4) Déterminer la limite de la suite (un ). 5) Etant donné un réel positif

)0≤p≤n : p=n Pn (z) = p=0 ap z p La somme d’une série d’applications monômes, appelée série entière, a donc été naturellement considérée comme une application qui généralise la notion d’application polynôme, tout en étant déterminée par une suite infinie de coefficients, (ap )0≤p : p=+∞ ap z p p=0 1≤p≤n ceci sans tenir compte des difficultés liées au passage à la limite et qui ont fait l’objet des précédents cours. En effet, la somme d’une série entière vérifie seulement : p=+∞ p=n