Tangente hyperbolique

multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 4 Tangente à une courbe paramétrée. Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 5 2.1 Tangente à un arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CTRL et ALT. Rappel : l'Outil Plume fonctionne avec le principe des tangeantes (souvenez vous de vos cours de géométrie). Les points que vous verrez apparaitre en cliquant-glissant à la suite d'un point supplémentaire représente la direction des 2 tangentes de la courbe. Le point d'inflexion étant le point que vous aurez aposé. 3. Recentrons nous sur une petite partie de l'image pour commencer. Travaillons sur la partie interne blanche du bras situé à gauche de l'image. Je vous montre ici la technique

(avec ), alors . • Donner un équivalent en de . Au voisinage de 0, on a : Donc D’où B) Dérivée, tangente, position d’une courbe par rapport à une tangente On suppose que f admet un DL à l’ordre au moins 2 en a : , où De ce DL, on tire : D’où l’équation de la tangente à C au point A d’abscisse a : La position de C par rapport à la tangente T est donnée par le signe de : Si : Donc est du signe de au voisinage de a. Si , et si on suppose de plus

ci-dessous. Soit P la parabole représentant la fonction f(x) = − x² + 4, représentée également dans le repère ci-dessous. 1) Vérifier que, pour tout réel x, u(x) × v(x) = f(x). 2) Déterminer graphiquement f '(1). 3) Le coefficient directeur de la tangente à P au point A est-il égal au produit des coefficients directeurs des droites Du et Dv ? Vous rédigerez soigneusement la réponse. Dv 5 y 4 P Du 3 A 2 1 x -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 Exercice 3 Soit f la fonction définie

intbgrale. 2.b. DCterminer et reprksenter l'ensemble (r) des points P du plan tels que la courbe pas A inttgrale passant par P ait, en P, une tangente de pente nulle. 2.c. On consid&re un point M d'abscisse non nulle, n'appartenant selon sa position par rapport à (r). Dtterminer, (r) et B l'axe O y , le signe de la pente de la tangente en M B la courbe intégrale passant par ce point. 3.a. Montrer que Co admet en O une limite finie t , qu'on dtterminera. On pose d&ormais CO(O1

est dérivable en a si lim x!a 1/3 2 b) Interprétation graphique. Le nombre dérivé f '(1) , lorsqu’il existe, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en 1. Ici f '(1) est le coefficient directeur de la demi-tangente à C f au point d’abscisse 1 puisque la fonction n’existe qu’à gauche de 1. Comme f '(1) = 0 , la demi-tangente à C f au point d’abscisse 1 est horizontale. 4) a) Montrons que lim+ x !"1 1 1 f ( x) " f ("1) = +# . x +1 On en déduit que f n’est pas dérivable

Fonctions : Résumé de cours et méthodes 1 Généralités Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f (x). D f est appelé l’ensemble de définition de f . f (x) est l’image de x par f (x). Tout réel x de D f tel que f (x) = y est dit antécédent de y par f . • Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (2) = 22 = 4. Donc 4 est l’image de 2 par f . f(x) 2 (antécédent de 4) 4 (image de 2) On peut aussi dire que 2 est un antécédent de 4 par f . Mais

la courbe€'-représente Sur le graphique ci-dessus' 1 , Quel est le sens de variation de f sur l-2; a)? I t- 3 dérivabre i;àJ"î;tfini"ttangente à surcourbeI 11'^^' A' au point la La droite La droite 2. à(€ directeurs des tangentes PréctsezLes coefficients d'abscisses (€ sachant que-: une allure possible de : I est la 9' est la'"igtntt à la courbe en B' lu* point, 3, Donnez -2 ''2;4 ;o ;3' . , fournies par le 9r 1. À partir des informations .àtpf A

représentation graphique est en un seul morceau. Si la fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple : La fonction dont la représentation est ci-contre, est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau. A Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes. On dit que la courbe admet un point anguleux O a La fonction valeur absolue x → | x | est continue

points I et J, d’où : ( ) ( ( ) On résout le système suivant : { { { { { { ) ( ) ( ( ) ) . Or, on sait que cette droite doit La droite (IJ) a donc pour équation : D’autre part, la tangente à en J a pour équation : ( )( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) La tangente à Question 4.b : La tangente T à en J est bien la droite (IJ). en I a pour équation : ( ( )( )( ( ) ) ) ( ( ) ) Question 5 On étudie le signe de : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On obtient ainsi le tableau de signe suivant