Tangente hyperbolique

circulaires • Fonctions sinus et cosinus Elles sont définies dans R et à valeurs dans [−1,1]. Elles sont 2π-périodiques. La fonction sin est impaire ; la fonction cos est paire. (sin x) = cos x ; (cos x) = −sin x . Dérivées : ∀x ∈ R • Fonctions tangente et cotangente sin x cos x Elle sont définies par : tan x = et cot x = (quand les dénominateurs cos x sin x ne sont pas nuls). Elles sont impaires et π-périodiques. 1 1 · ; (cot x) = Dérivées : (tan x) = 1 + tan2 x = cos2 x sin2 x II Fonctions

par : f(x) = (x - 1)e2x, alors : a. [pic]= x e2x b. f(x) = −( c. L’équation f(x) = 1 admet dans IR une solution unique. B. Si x ≥ −2 alors ex ≥ . C. Les courbes représentatives des fonctions x ( 2ex/2 – 1 et x ( ex ont la même tangente au point A(0 ; 1) D. Pour tous réels a et b, ea+b = Pour tous réels a et b (non nul), [pic] Il existe un réel a et un réel b tels que e2a + e2b < 2ea+b Exercice 2 (4 points). A. Soit (un) une suite définie sur IN et (vn)

4. Exercice 3 : (4 points) On considère la fonction g définie par [pic] et on note Cg sa courbe représentative. Dans chaque cas, dîtes si l’affirmation est vraie ou fausse. a) La dérivée de g est définie sur [pic]. b) La tangente à Cg en [pic] est horizontale. c) Pour tout x < ))on a : [pic]. d) La fonction g admet un minimum. Exercice 4: (4 points) Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f(x) = x + )). Démontrez que cette fonction admet un minimum

intermédiaires) 6. Savoir déterminer à l’aide de la calculatrice un encadrement des solutions. 7. Déterminer l’équation d’une tangente à la courbe. 8. Savoir construire la courbe. ✓ Un bon usage de la calculatrice s’impose. ✓ Penser aux éventuelles asymptotes verticales et horizontales. 9. Tracer les asymptotes obliques et les tangentes avec soin. Liste des connaissances pour l’étude d’une fonction Les questions ne sont pas nécessairement posés dans cet ordre

permanent l'intensité du courant est constante et maximale. On trace l'asymptote horizontale à la courbe i = f(t). Cette asymptote a pour équation I = 6,0 mA 1.2.2. τ = 0,1 ms La constante de temps correspond à l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe à l’origine et l’asymptote correspondant à i = I. i (mA) 8,0 7,0 I = 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,0 τ 1.2.3. Valeur théorique : τ = τ= L R graphe 1 i(t) 0,5 1,0 1,5 t (ms) 0,10 = 0,10×10–3 s = 0,10 ms La valeur

pour tout réel x. Déterminer une équation de la tangente à Cj au point d’abscisse 1. Donner l’approximation affine associée à j pour x proche de 1.En déduire une valeur approchée de j(1,1). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 4 (3 points) Soit k déf. sur D = ]2 ;+ ¥[ par k(x) = Calculer k ’(x) pour tout réel x de D. Etudier le signe de k ’(x) et dresser le tableau de variation de la fonction k. La courbe Ck admet-elle des tangentes horizontales ? Exercice 5 (0.5+2.5+1+2+1.5=7.5

Dérivation 5 6 Calcul d’une équation de la tangente à une courbe en un point : DÉFINITION Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, alors la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est la droite passant par le point A(a, f (a)) et dont le coefficient directeur est égal à f (a). PROPRIÉTÉ Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, alors une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point

LIMITES I. Notion de limites : Dans tout le paragraphe f est une fonction définie sur un ensemble noté Df . 1. Limite en a de f : (a ∈ D f ) Soit a un réel quelconque de Df . Le théorème suivant est admis : Si f est une fonction dérivable sur Df , alors pour tout réel a de Df : lim f (x ) = f (a ) . x →a Exemple : toutes fonctions polynôme ou rationnelle vérifient ce théorème ainsi : Soit f une fonction définie sur R par : f (x ) = 0, 5x 2 − 3x + 3 . Alors : lim f (x ) = f (2) = −1 . x →2

Seconde-Aide m´moire et m´thode e e Fonctions polynˆmes de degr´ 2 o e Rappel : une fonction polynˆme de degr´ 2 est une fonction d´finie sur R par f (x) = ax2 + bx + c avec a, b o e e et c r´els et a = 0. e 1 Forme canonique La forme canonique de f est de la forme f (x) = a(x − α)2 + β. −b . avec α = 2a Exemple 1 : f est d´finie sur R par f (x) = x2 − 6x + 5 e On a (x − 3)2 = x2 − 6x + 9 donc f (x) = (x − 3)2 − 9 + 5 = (x − 3)2 − 4 (forme canonique avec α = 3 et β = −4) On peut aussi

Soit (x,z) les coordonnées d'un point M dans le repère et (X,Z) les coordonnées du même point dans le repère En exprimant les vecteurs du nouveau repère en fonction des vecteurs du premier repère, on a : On a donc . On en déduit En remplaçant x et z par ces expressions dans l'équation de la section S, on obtient : soit en développant les carrés et en réduisant On reconnaît l'équation d'une hyperbole. 1) - M(x;y;z) est un point de T donc x²+y²=z² - M(x;y;z) est