Tangente hyperbolique

de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t ) pour t ∈ ℝ ∗ . A l’aide d’une intégration par parties, montrer que : ∀t ∈ ℝ ∗ , ∫ En déduire le sens de variation de f . 1.f Tracer la courbe représentative de f dans un repère

(x) pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 6 ] et dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle. 3. Compléter le tableau de valeurs suivant : x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 4. Déterminer l’équation de la tangente D à la courbe représentative de f au point d’abscisse 4. 5. Construire D et la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [ 0 ; 6 ] dans un repère Echelle : en abscisse 1 cm pour 0,5 m en ordonnées 1 cm pour 1 m² 6. Déterminer

développements limités 1) Somme 2) Produit 3) Composition 4) Quotient 5) Intégration et dérivation III : Utilisation des développements limités 1) Calcul de limites 2) Etude locale d'une courbe y = f(x) 3) asymptotes 4) Etude locale d'un arc paramétré a) Tangente b) Concavité IV : Développements limités usuels Annexe : Energie potentielle et stabilité d'un équilibre. I : Généralités 1– Définition f admet un développement limité au voisinage de 0 à l'ordre n si f est de la forme : f(x) = a0 + a1x + ... + anxn

|Réponse b |Réponse c | |2 |[pic] est égal à |3 |0 |9 | |3 |Une équation de la tangente [pic] est |[pic] |[pic] |[pic] | |4 |L’équation [pic] admet |Une solution |Deux solutions |Trois solutions

tend vers A sur Cf , la droite tend vers une position limite : c’est la tangente a Cf en A. La tangente a pour pente f (a) et passe par A, et ` a donc pour ´quation y = f (a)(x − a) + f (a). e Soient f d´rivable en a et A(a, f (a)). Le taux d’accroissement de f en a, e M ✻ A  O ı ✲ a Remarques : f (x) − f (a) existe dans R alors f est dite d´rivable e x→a x−a a ` droite en a (demi-tangente). Si les nombres d´riv´s ` droite et a gauche sont distincts, e e a `

DM PaK Exercice 1 : (10 points) La courbe (C) donnée en ci-contre est la courbe représentative d’une fonction f. Le point E a pour coordonnées pour abscisse 5 2 1 − ;0 2 ( ) et le point F a . Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique. 1. Lire l’ensemble de définition, noté I, de la fonction f . 2. Lire les images respectives de −1 par f. 3. Lire les antécédents de 0 par f . 4. Lire le nombre et le signe des antécédents éventuels de −0,5 par

Chapitre I : Limite de suites et de fonctions 1 Limite de suites 1.1 limite infinie Définition : 1. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers +∞ ou encore qu’elle diverge vers +∞ si et seulement si tout intervalle ]λ; +∞[ (λ ∈ R) contient tous les termes de la suite (un ) à partir d’un certain rang n0 . On note alors lim un = +∞. n→+∞ 2. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers −∞ ou encore qu’elle diverge vers

L. Regueb Classe : 4èmeM Le : 12/02/2010 Durée : 2h Devoir de Contrôle№2 Exercice1(4pts) Pour chacune des propositions suivantes une et une seule réponse est correcte ; noter sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la bonne réponse. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i, j) . 1) La parabole de foyer F(2,0) et de directrice D : x = -2 a pour équation : a) y2  4x ; b) x2  8y ; c) y2  8x 2) Soit V le volume du solide obtenu par révolution

f(x) = - 1 3 x + 3x. 3 On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( o , i , j ) 1) Montrer que f est impaire. 2) a- Dresser le tableau de variation de f. b- Etudier les extrema de f. 3) a- Donner l’équation de la tangente (T) à (Cf) au point d’abscisse 0. b- Etudier la position relative de (Cf) par rapport à (T). 4) Résoudre dans IR l’équation f(x) = 0 5) Déterminer lim x   f ( x) . Interpréter graphiquement le résultat x 6) Tracer T et (Cf) dans le repère (o

Remarque : Pour les fonctions usuelles dont le graphe est connu, il n’y a pas `a refaire l’´etude, a moins que cela soit explicitement demand´e. 3. Soit A un point d’abscisse a ∈ R de la courbe P . D´eterminons l’´equation de la tangente Ta de P au point A. La tangente T en un point x0 d’une fonction d´erivable f a pour ´equation T : y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) Appliqu´e a` la fonction f : x → x2 , on obtient Ta : y = 2ax − a2 4. Soient a et b deux r´eels distincts. D´eterminons le point d’intersection