Tangente hyperbolique

matrice ainsi que le vecteur des points de contrôle qui la représente. Le vecteur se diffère d’un type de courbe à l’autre. Pour une courbe d’Hermite, ce vecteur est composée de la position du point de départ, du point d’arriver, de la tangente initiale ainsi que la tangente finale de la courbe tracée. Voici la matrice et le vecteur qui est utilisé pour la courbe d’Hermite : Dans le cas de la courbe B-Spline, le vecteur des points de contrôle est le même et donc seule la matrice diffère l’une de

Q U ES Cor rigé DS du 20 sept 2011 E xercice 1 1. f(0) est donc f(0) = . de la tangente à la courbe c au point B. On lit -1. La tangente à c au point B a pour équation : 0) + f(0) En utilisant les résultats précédents, on obtient donc : y=-x+ 2. Equations et inéquations : a. f (x) = 0 : les solutions sont les abscisses des points de c axe des abscisses. S = {- 2 ; 1} b. x) = 0 : la courbe c admet 4 tangentes horizontales. Les solutions sont les abscisses des 4 points de tangence. S = {- - ;

point A(0 ; 5) § la tangente à (C) au point A est parallèle à l’axe des abscisses ; § la tangente à (C) au point B d’abscisse 1 a pour coefficient directeur – 3. Etudier les variations de la fonction f ainsi obtenue. Tracer (C). Soit f la fonction définie sur R- {2} par : f (x) = Exercice III. Soit h la fonction définie par h ( x ) = x 1 + ; Γ sa courbe représentative et ∆ 4 x2 x . 4 a) Etudier la fonction h , dresser son tableau de variation et préciser la tangente à Γ au point d’abscisse

de symétrie pour la courbe [pic]. 3. Tracer la courbe [pic]. 4. Soit la droite [pic]. a) Déterminer par leurs équations les tangentes à [pic] parallèles à la droite D. b) Soit [pic], ou k une constante réelle . Discuter graphiquement le nombre de solution de l’équation f(x) = 5x + k . II. Soit la fonction g définie par : [pic]et [pic] sa courbe dans [pic]

2. Déterminer une équation de la tangente à Cj au point d’abscisse 1. 3. Donner l’approximation affine associée à j pour x proche de 1. En déduire une valeur approchée de j(1,1). Comparer avec la valeur exacte. Exercice 4 (3 points) Soit k déf. sur D = ]2 ;+ [ par k(x) = 1. Calculer k ’(x) pour tout réel x de D. 2. Etudier le signe de k ’(x) et dresser le tableau de variation de la fonction k. 3. La courbe Ck admet-elle des tangentes horizontales ? Exercice 5 (0.5+2

MPSI, mathématiques 1/2 Devoir 10 (4h) 17/11/2010 3. En déduire que C possède un point double A et déterminer les coordonnées de A. 4. Montrer que les tangentes à C au point A sont orthogonales. 5. Tracer la courbe C . E XERCICE 4 Soit P une parabole de foyer F et de directrice D. Démontrer que pour tout point M ∈ P , la tangente à P en M est la médiatrice de F H , où H est le projeté orthogonal de M sur D (on pourra par exemple effectuer les calculs dans le repère où P admet une équation

dérivable en un un réel a de I, le coefficient directeur de la tangente est f '(a)L'équation de la tangente est donc de la forme :y =f '(a) x + p où p est un réel à déterminer.Le point de coordonnées(a;f(a))appartient à la tangente ( et aussi à la courbe représentative de la fonction f)Les coordonnées(a;f(a))vérifient donc l'équationy =f '(a)x + p ce qui permet de trouver le réelpf(a)=f '(a)a+ pp =f(a)-f '(a)aPar conséquent l'équation de la tangente est :y =f '(a)x +f(a)-f '(a)ace qui donne en mettant f

+ 14 . c) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une seule solution α dans R et donner la valeur de cette solution. d) En déduire le tableau des variations de f. 6) Tracer avec soin la courbe cf et la droite (d) dans (O ; i , j ) 7) Soit (t) la tangente à cf au point M0 d’abscisse x0 = 3. Donner une équation de (t) et tracer cette droite dans le repère précédent. 8) La droite (t) recoupe cf en un point M1. Evaluer les coordonnées de M1 et vérifier par le calcul que M1 est effectivement un point

+ x + x + o(x3 ) au voisinage de 0 2 6 C d´signe la courbe repr´sentative de f dans le rep`re orthonorm´ direct e e e e − − → → (O, i , j ). 1) a) Montrer que f est d´rivable en 0 et pr´ciser f ′ (0). e e b) Donner une ´quation cart´sienne de la tangente T ` C au point e e a d’abscisse 0 et pr´ciser la position de C par rapport ` T au voisinage de 0. e a Faire une figure. . 2) On consid`re l’´quation diff´rentielle e e e x ′ x (E) : (e − 1) y + e y =1 a) R´soudre (E) sur chaque intervalle ]-∞, 0[ et

Fonction logarithme exercices corrigés 1 F. Laroche http://laroche.lycee.free.fr c. Etudier le signe de g ’. d. Déterminer les limites de g en 0 et +∞ . e. Dresser le tableau des variations de g. f. Construire la courbe Γ en précisant la tangente au poiint d’abscisse 1. Correction 1. f est un quotient de fonctions dérivables et le dénominateur ne s’annule pas, elle est donc continue et dérivable sur ℝ . f '( x ) = x2 + x + 1 − x ( 2 x + 1 ) ( 2. a. g ( x ) = b. (f x2