Tangente hyperbolique

1 LIMITES DE FONCTIONS 1 ) LIMITE en + ∞ et en – ∞ A ) LIMITE INFINIE en + ∞ et en – ∞ Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel . Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ . On note : lim f ( x ) = + ∞  → Cf Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .  → x → +∞ j Rem

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim f  x=∞ . ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • x −∞ x −∞ lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) lim f  x=−∞ . Résultats à retenir

l’aide de la courbe représentative C d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 3] vérifiant les conditions suivantes : € Š € Š 1.5 La courbe C passe par les points A 0 ; 2 et B 3 ; 0 ; 1 La courbe C admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l’axe des abscisses. 0.5 -1 -0.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1. Partie I a. Soit f la fonction définie sur l’intervalle R par : 2 f (x) = − x2 + 2 3 Etudier les variations de la fonction f (on demande pas l’étude

dérivée la fonction f. Laquelle ? (justifier la réponse) II) Vrai ou Faux. Les courbes ci-contre représentent une fonction f dérivable sur -2, 2 en trait continu et sa fonction dérivée f’ en pointillé. a) f'0=12 b) La droite D:y=x+1 est tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0. c) Il existe un réel c∈-1, 1 tel que f'c=1. Exercice 2 : En utilisant la notion de dérivée, déterminer les limites suivantes : a) limx→0x+4-2x b) limx→0sinxx

calcule la limite de f 4h− f  4 h quand h tend vers 0 soit lim 0,90,1125×h =0,9 h 0 on a donc f ' (4)=0,9 ou alors on calcule directement f '(4)= 0,225×4=0,9 La droite (CD) étant la tangente à la courbe au point d'abscisse 4, son coefficient directeur est f '(4) soit 0,9. 2.La droite (CD) est la tangente donc son équation réduite est y= f ' (4) (x-4)+f(4) soit y = 0,9 (x-4)+1 soit y = 0,9x-2,6 ou y=0,9x+p avec C qui est sur (CD) , y C =0,9×x C  p soit 1=0,9×4 p soit p=-2,6 3. a)Les murs

Signe de f’(x) Variations de f 0 1 1 0 +∝ + +∝ e e +1 d) Construire la courbe représentative (C) de f sur [0, +∞[ dans un repère orthonormal (unité 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes à (C) aux points d'abscisse 0 et 1. La courbe admet une tangente horizontale en 1, car f’(1) = 0. La tangente en 0 est la droite d’équation : y = -x + 1. FRLT Page 5 11/12/2010 TS EXPONENTIELLE PROBLEMES 1 CORRIGE FRLT Page 6 11/12/2010 

Baccalauréat STT (CG - IG) Questionnaire n° : Lectures graphiques 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 0 1 2 3 On donne ci dessus la courbe de la fonction f définie sur [-4; 3]. 1°) Quel est, parmi les quatre tableaux de variation suivants, celui qui peut être associé à la fonction f ? x f(x) − 25 6 -4 -2 1 26 3 3 x f(x) -4 -2 1 0 3 9 2 0 25 6 − 9 2 − 26 3 tableau 1 x f(x) − 25 6 tableau 2 -4 1 0 26

définies sur R par :  ( x 1)e x . On note Ck la courbe représentative de fk . Le but de ce TP est d’étudier les variations de fk en discutant suivant les valeurs de k, et ensuite de déterminer l’ensemble des points des courbes Ck possédant une tangente horizontale. Conjectures émises à l’aide d’un logiciel. : On peut représenter les courbes à l’aide par exemple des logiciels GeoGebra ou Sinequanon ( logiciels libres et gratuits). Avec le logiciel Geogebra, on peut représenter les fonctions fk en

Chapitre 7: Les Asymptotes I. Asymptote verticale Certaines fonctions n'existent qu'à partir d'un certain réel a sans être nécessairement définie en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a. Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] ( 2 ; + ([ , dont la courbe représentative est : La droite D étant parallèle à l’axe des ordonnées on dit alors que D est une asymptote verticale

Exercice 1 : Cf est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4]. Les points M (1 ; 3,5) N (3 ; 1,5) et P (2 ; 2,5) appartiennent à Cf. La courbe Cf admet en chacun des points M et N une tangente parallèle à l’axe des abscisses. La droite ( est tangente à la courbe Cf au point P elle passe par le point S (3 ; 1). Par lecture graphique : 1. Compléter : ❖ f ’ (1) = ……… ❖ f ’(2) = ……… ❖ f ’(3) = ……… 2. Compléter le tableau de variation de la fonction