Tangente

Exercices sur les int´grales g´n´ralis´es e e e e 1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e ∞ a) 0 ∞ dx (1 + ex )(1 + e−x ) ln x dx x2 ∞ b) 0 1 e− √ √ x 1 x dx c) 0 ln x dx d) 1 ∞ e) 0 ∞ ln x dx (1 + x)2 ∞ f) 0 π/2 xn e−x dx (n ∈ N) g) 0 arctan x dx 1 + x2 h) a dx (a > 0, r > 0) x(x + r) i) 0 cos 2xdx √ sin 2x 2. Montrer que les int´grales suivantes convergent : e ∞ π/2 √ 1 2 √ e− x +x+1 dx

Exercices de math´matiques MPSI et PCSI e par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des mati`res e 1 G´n´ralit´s sur les fonctions e e e 2 Continuit´ e 3 D´rivabilit´ e e 4 Fonctions de classes Ck 5 Bijections 6 D´veloppements limit´s e e 7 Groupes, anneaux, corps. 8 Polynˆmes o 9 Fractions rationnelles 10 Arithm´tique e 11 Nombres complexes. 12 Suites 13 Suites un+1 = f (un ) 14 Ensembles 15 Espaces vectoriels et applications lin´aires e 16 Familles g´n´ratrices, libres, bases. e e

Exercices sur les int´grales g´n´ralis´es e e e e 1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e ∞ a) 0 ∞ d) √ ∞ dx (1 + ex )(1 + e−x ) e− √ b) 1 x x dx c) 0 ln x dx 0 1 ln x dx x2 ∞ ln x dx (1 + x)2 e) f) 0 1 ∞ g) π/2 dx (a > 0, r > 0) x(x + r) h) a 0 (n ∈ N) 0 ∞ arctan x dx 1 + x2 xn e−x dx cos 2xdx √ sin 2x i) 0 2. Montrer que les int´grales suivantes

EM - EXERCICES SUR LE CALCUL DE PRIMITIVES 1) (x2 − x) sin x 2) (x3 − 2x + 1)e−x 3) e5x cos 7x 4) √ 5) x2 8x3 + 1 6) (x − 1)2 x2 + 4 7) x (x + 1)2 8) x3 x4 − 1 9) 3x8 + 6x5 + 6x2 (x3 + 1)7 10) x3 − x + 5 (x + 1)7 (x2 + x + 1) 11) 3x3 − 4x2 + 2x (x3 − 2x2 + 2x − 1)2 12) 13) arctan 15) x sin (x3 √ x 1 + 1)2 14) ln(1 + x2 ) x2 tan5 x 16) cos4 x sin x 17) cos 2x sin x + sin 3x

Chapitre 8 CALCUL DE PRIMITIVES 8.1 D´finition e D´finition: soit f une fonction d´finie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une e e fonction F d´rivable sur I et telle que, pour tout r´el x de I, F (x) = f (x). e e Th´or`me 1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I, deux e e d’entre elles diff´rant d’une constante. e Il est important de bien connaˆ les primitives de fonctions usuelles : on s’y ram`ne toujours. ıtre e La table ci-dessous ne pr´cise pas

Synthèse des démonstrations mathématiques Examen de Rheto décembre 2012 1)Analyse : 1. Prop1 : Si f et g sont des fonctions dérivables sur l’intervalle i alors : fxg'x.dx=fxgx-f'xgx.dx Dem : (fx.g(x))'=f'(x)g(x)+fxg'(x) Donc f'x.gx.+fx.g'x.dx=fx.gx+c Donc f'x.gx.dx+fx.g'x=fx.gx+c =>fx.g'x.dx=fx.gx-f'x.gx.dx cqfd. -Théorème de la moyenne 2. Def1 : theorème moyenne : Soit f une fonction continue sur [a,b] la moyenne de la fonction f sur cet interval est le nombre réel m donné par :

Chapitre 1 Intégrale sur [a, b] de R (a 0 sur [a, b] ; alors il existe c ∈ [a, b] tel que : b b f (t)g(t)dt = g(c) a a f (t)dt Démonstration : puisque g est continue sur [a, b] alors il existe m et M dans R tel que g([a, b]) = [m, M ] avec m = min{g(x)/x ∈ [a, b]} et M = max{g(x)/x ∈ [a, b]}. Donc pour pour tout x ∈ [a, b] on a m ≤ g(x) ≤ M et par suite on a : b b b m a f (t)dt ≤ a f (t)g(t)dt ≤ M b f (t)dt. a f (t)g(t)dt Et par conséquence a b ∈ [m, M

ESIEE IN4A11 Programmation Algorithmique Exercices simples Jean-Claude GEORGES Année scolaire 2007-2008 IN4A11 Exercices en C Les types simples 1 Exemple d’écriture d’une fonction Écrire une fonction qui calcule la somme des n premiers nombres – à l’aide d’une boucle for ; – en utilisant la récursivité ; – en utilisant une formule. Exemple de solution : /* int somme_nombres_iteratif(int n) * calcule la somme des n premiers nombres * Principe : accumulation dans une variable

d semble tangente en A à la parabole ᏼ. 2 b) Le coefficient directeur semble « s’approcher » de m = 3. 4 b) Le coefficient directeur de la tangente est 3. Cela confirme la conjecture faite précédemment. PROBLÈME OUVERT Par lecture graphique : en A de coordonnées (3 ; 0). Par le calcul, après assimilation du chapitre. 1 La fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f(t) = 1 + est t 1 dérivable en t = 1, et f’(t) = – 2 . t EXERCICES 1 Application (page 77) La tangente en A(– 3 ;

pistes de solutions mais nous prévoyons d’afficher au tableau à l’aide du vidéoprojecteur 3 figures où apparaissent successivement des cercles tangents à 1, 2 puis 3 droites. Illustration : Les 2 dernières activités concernant la propriété d’équidistance de la bissectrice et la distance d’un point à une droite ainsi que les propriétés de la tangente à un cercle seront rappelées en début de séance. Cette activité est complexe dans la mesure où le lien entre le cercle fourni et les mesures des