Tenseur

physique des trois régimes de fissuration par fatigue. 7.4 Fiche résumé 7.5 Problèmes 7.5.1 Choix de matériaux pour la réalisation d’un réservoir sous pression : 8 AnnexeS 8.1 Quelques rappels de mécanique des milieux continus. 8.1.1 Tenseur des contraintes 8.1.2 Tenseur des déformations 8.1.3 Puissance de déformation 8.2 Quelques rappels de physique. 8.3 Le facteur d’intensité des contraintes 8.3.1 Méthode de résolution de problèmes plans en élasticité isotrope. 8.3.2 Fonction de Westergaard. 8.3.3

perturbations, le nombre d’inconnues dans un probl`eme de m´ecanique des milieux continus est ´egal `a 15. En effet, l’objectif est de d´eterminer en chaque point du solide le vec→ teur d´eplacement − u (trois composantes), le tenseur des d´eformations (six composantes ind´ependantes) et le tenseur des contraintes σ (six composantes ind´ependantes). Pour r´esoudre un tel probl`eme, nous devons donc disposer de 15 ´equations. Ces ´equations sont les trois ´equations d’´equilibre : −→ → − div(σ) + f v = 0 (1)

planes en un point Par exemple: État de contrainte Combinaison et transformation des contraintes planes État de contrainte Un état de contrainte dans l’espace peut se représenter mathématiquement sous la forme d’un vecteur matriciel. C’est le TENSEUR DE CONTRAINTE. Combinaison et transformation des contraintes planes État de contrainte La matrice s’exprime comme ceci dans l’espace: Combinaison et transformation des contraintes planes État de contrainte La matrice s’exprime comme ceci

disparaît pas complètement lorsque celles-ci sont annulées. 7 Généralités sur l’élasticité I- Tenseur des contraintes Quand un corps est soumis à l'action de forces extérieures des contraintes s'établissent, par réaction, à l'intérieur de ce corps. Aux contraintes sont associées des déformations. 8 Généralités sur l’élasticité II- Tenseur des déformation Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts

Fig. 3 décrit un essai de traction uniaxiale selon − z . La surface de la section sur laquelle la force F est appliquée vaut S0 . → → → 1 - définir le tenseur des contraintes dans le repère (− x, − y, − z) √ √ − → − → 2 - calculer le vecteur contrainte T pour les directions n = (0, 1/ 2, 1/ 2) √ √ → − et t = (0, −1/ 2, 1/ 2). 3 - calculer le tenseur des déformations en élasticité linéaire isotrope. 3.2. Réponses 1 - l’analyse des sollicitation sur chaque face donne   0 0 0   0  σ = 0 0 0 0

Utile : formule de Green : Pourquoi un lagrangien de phénomènes linéaires (ie L quadratique) conduit à l’équation des ondes : et un résultat important : le tenseur énergie-impulsion Lagrangien qui ne dépend pas explicitement de xµ : [pic] Equations d’Euler-Lagrange [pic] • Démonstration : [pic][pic] Tenseur énergie-impulsion : [pic] Propriété : [pic] • Dém. : 3. L’Action sur l’exemple du champ scalaire (« spin 0 ») Forme générale du Lagrangien (quadratique

normal à Σ. Relativement aux axes Axyz, les composantes du tenseur contrainte sont : σ1 τ 3 τ 2 τ 3 σ2 τ 1 τ 2 τ 1 σ3 Les seules forces agissant sur le voile étant, par hypothèse, appliquées à la surface moyenne, la composante σ3 est nulle sur les surfaces Σ 1 et Σ 2 qui limitent le voile. Nous admettrons, le voile étant mince, que la composante σ 3 est toujours négligeable. Lorsque les composantes non nulles σ1 , σ2 , τ1 , τ2 , τ 3 du tenseur contrainte dépendent de z, les sections du voile normales

Question 4 Le tenseur des contraintes de Piola est donné par la loi de comportement élastique : La liaison interne est l’isochorie, on a donc : soit, . On a donc finalement : . D’après les formules de dérivations des invariants (p 380), on en déduit l’expression du tenseur des contraintes de Piola : La relation entre le tenseur des contraintes de Cauchy et le tenseur des contraintes de Piola étant : , on en déduit (par multiplication) l’expression du tenseur des contraintes de Cauchy :

traçant la droite tangente au deux cercles : Cu = 1,1 bars  = 18,43 8-Conclusion : Les dispositifs du triaxial assurent une meilleure uniformité du tenseur des contraintes dans l’échantillon. Le matériau peut être sollicité suivant des chemins de contraintes complexes, il est possible donc de contrôler d’une manière très précise l’évolution de la contrainte axiale et celle de la contrainte latérale

MODELISATION DU LAMINAGE A FROID DES ACIERS. ETUDE DES ASPECTS METALLURGIQUES. ANALYSE PAR LA METHODE DES TRANCHES A. SCHMITZ, J.C. HERMAN CRM Rue E. Solvay, 11 - 4000 Liège, Belgique Abstract : Afin d'améliorer le modèle de prédiction des forces et des puissances de laminage à froid, une étude fine de la loi de consolidation des aciers en fonction des paramètres de laminage a été réalisée sur base d'essais de compression. Il a été démontré que la résistance à la déformation à froid peut être