Tenseur

nombre e e e e d’inconnues dans un probl`me de m´canique des milieux continus est ´gal ` e e e a 15. En effet, l’objectif est de d´terminer en chaque point du solide le vece → teur d´placement − (trois composantes), le tenseur des d´formations (six e u e composantes ind´pendantes) et le tenseur des contraintes σ (six composantes e ind´pendantes). e Pour r´soudre un tel probl`me, nous devons donc disposer de 15 ´quations. e e e Ces ´quations sont les trois ´quations d’´quilibre : e e e − → → − div(σ) + f

Contents 1 G´n´ralit´s e e e 1.1 Matrices et applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Le calcul matriciel par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le compl´ment de Schur ; ses factorisations associ´es e e 1.4 Les matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Noyaux, images et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Quelques aspects euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les matrices d´finies-positives (>>0) . . . . . . . . . . . e . . . . . .

>> % Construction de la représentation de la fonction >> c=[215.384615 238.461538 253.846154 276.923077 300 315.384615 330.769231 346.153846 361.538462 369.230769 384.615385 392.307692 403.846154 407.692308 423.076923 430.769231 438.461538 446.153846 453.846154 461.538462 469.230769 476.923077 484.615385 492.307692 496.153846 500 503.846154 507.692308 511.538462 511.538462 511.538462 511.538462 511.538462 511.538462 511.538462 511.538462 511.538462]; >> s=[0.2 0.34883721 0.46511628 0.69767442

Propagation d’ondes Il existe bon nombre d’ouvrages de r´f´rence traitant de la propagation des ondes, voir ee par exemple [1, 2, 3, 4, 5]. L’objet de ces notes est d’en pr´senter quelques aspects, en e vue de l’´preuve de mod´lisation ` l’agr´gation. e e a e Partie I L’´quation des ondes en dimension 1 e ´ On appelle ´quation des ondes (lin´aire) l’EDP d’´volution, du second ordre en temps (t) e e e et en espace (x), 2 2 ∂tt u − c2 ∂xx u = 0 , ´ o` c est un nombre r´el positif donn´, homog`ne

CORRECTION Exercice III - Pendule simple (5 points) 1. Les pendules de Galile 1.1. (0,25 pt) Deux expressions employes dans le texte pour dsigner une oscillation daIIes et venues et vibrations. 1.2. (0,25 pt) Galile dsigne la position dquilibre du pendule par lexpression la position perpendiculaire. 1.3.1. (0,25 pt) Influence de la masse m de la boule sur la priode du pendule Galile indique que les priodes du corps pesant (boule de plomb) et du corps lger (boule de lige) concident parfaitement. Il

de force qui s’exercent sur les faces de ce cube. Ces densités sont exprimées en MPa (1 MPa = 106 N/m2).  Donner la valeur des composantes, dans la base    (e1 , e 2 , e3 ) , du tenseur des contraintes au point P. 30 e3 O e1 e2 ? . 20 40 P 60 Exercice 2 En un point P d'un milieu continu, le tenseur des contraintes s’exprime, dans la base    orthonormée (e1 , e2 , e3 ) , par : 0 3 0  σ = 3 0 0 (valeurs en MPa).   0 0 9     Calculer les vecteurs contraintes ainsi

..........................................................11 II -3 Equilibre.........................................................................................................................................13 II - 4 Quelques propriétés du tenseur des contraintes............................................................................18 III - LOI DE COMPORTEMENT POUR LES SOLIDES ELASTIQUES ......................................................................21 III - 1 Approche expérimentale:

......................................................................................................... 6 2 – Classification des actions mécaniques .............................................................................. 7 CHAPITRE II - TENSEUR DES CONTRAINTES ........................................................... 12 1 – Notion d’effort intérieur, contrainte autour d’un point ............................................... 12 1 - 1 – Efforts intérieurs.............................

direction de l’axe x, et se produit identiquement dans tout le plan xy. On peut donc en conclure que l’axe z na pas non plus d’influence sur la vitesse. On traduit ca par : ???? = ??(??) �⃗ � ???? = 0 ?? ???? = 0 D’après la définition du tenseur des contraintes visqueuses : On a vu que nulle. ?????? ???? ?????? = ?? . � ?????? ?????? � + ???? ???? n’est pas nul donc on peut considérer que la composante ?????? est aussi non 2 Pour exprimer les équations du mouvement

.......................................................................................... 11 Déformations d'un milieu continu ................................................................................................................. 13 Tenseur Gradient ....................................................................................................................................... 13 Exemple dans le cas d'une déformation homogène triaxiale ........................................