Tenseur

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D’ADMISSION 2004 DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Courbures des surfaces dans l’espace R3 Ce problème propose une étude des surfaces de l’espace R3 et de leurs courbures totale et moyenne. Pour tout entier n > 0, l’espace Rn sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement (.|.) et . . La première partie est consacrée

Première partieA) Les astuces de technique intensive 1) Votre technique doit être stricte. Faites vos mouvements plus lentement et contrôlez-les. Contrôlez aussi la contraction et la descente, sans à-coups, ainsi, vous ne profiterez pas de votre élan mais utiliserez toute la force de vos abdos. 2) Ne tirez pas sur la nuqueRespectez la courbure naturelle de votre dos, ne baissez pas exagérément le menton vers la poitrine et n’appuyez pas vos mains sur votre tête, ce n’est pas votre nuque qui fait

Annexe A Alg`bre Matricielle e A.1 Introduction Comme tous ceux qui ont ´tudi´ l’´conom´trie ou une quelconque autre discie e e e pline math´matique le savent, la diff´rence entre un r´sultat qui semble obscur e e e et difficile, et un r´sultat qui semble clair et intuitif, provient souvent simplee ment de la notation utilis´e. Dans presque tous les cas, la notation la plus e claire rend possible l’utilisation des vecteurs et des matrices. Les lecteurs de ce livre devraient ˆtre assez familiers avec

Exercices relatifs au chapitre 1 : Les forces 1°) Introduction Le cours de mécanique n’est pas un cours purement théorique, il se maîtrise via la pratique de nombreux exercices. Les énoncés de ces exercices sont indépendants du chapitre théorique, afin de ne pas le surcharger. Mais les numérotations sont conservées pour garder le parallélisme ! 2°) Calcul vectoriel b. Opérations vectorielles Sortez votre papier

Prof. Imed BARAKET  : 24 818 683  : 73 671 260 | Série d’Exercices :Dynamique de Translation | 3éme Année2010 2011 | Tout les repères sont supposés GALILEEN.On prendra l’accélération du champ de pesanteur : g = 10 m.s-2Exercice n°1 : Un solide (S) de masse m = 8 kg glisse sur une piste verticale ABCD formée : * D’une partie AB rectiligne, rugueuse, faisant un angle α = 15° avec l’horizontale et de longueur AB = 4m. les frottements qui s’exercent sur le solide de cette partie sont

Corrections de quelques exercices de la feuille no 3 : Formes lin´aires et espace dual e (1) (*) Soit E = IR3 . Montrer que toutes les formes lin´aires sur E s’´crivent f (x1 , x2 , x3 ) = a1 x1 + e e a2 x2 + a3 x3 D´monstration. E est un espace vectoriel de dimension 3 et soit e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E, tout vecteur x de e E s’ecrit, de maniere unique, sous la forme x= 3 xi ei avec xi ∈ R,choisissons l’ensemble {1} (ensemble a un seul i=1 element), comme base de R Soit la proposition :

2.4 3 Les 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 déformations Déformations et directions principales Équations de compatibilité . . . . . . Mesure de déformation . . . . . . . . . Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . contraintes Vecteur contrainte . . . . Tenseur des contraintes . Déviateur des contraintes Équation d’équilibre . . . Conditions aux limites . . Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

le cas présent, le solide est plan et la masse surfacique est de 1. Il reste qu’on parle de moment d’inertie de la surface S autour de ∆. On peut donc construire un tenseur d’inertie, qui est du second ordre, défini positif :   Z Z 2 I23 = − x2 x3 dS  I22 = ZS x3 dS ZS I =  I32 = − x2 x3 dS I33 = x23 dS S (7.4) S Ce tenseur est diagonalisable. Il existe donc des directions centrales principales, pour lesquelles on définit les moments quadratiques centraux principaux   Z 2 I = x dS 0 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Transport lagrangien d’un petit segment : tenseur gradient de la transformation . . . 25 2.1.2 Transport lagrangien d’un petit volume : jacobien de la transformation . . . . . . . . . 26 2.1.3 Transport lagrangien d’un produit scalaire : tenseur des dilatations de Cauchy . . . . 28 2.1.4 Variation lagrangienne d’un produit scalaire : tenseur des d´eformations de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 2.1.5

limite de chargement de comportement mécanique et notamment le passage d’un comportement élastique à un comportement plastique. Ces critères sont généralement exprimés dans l’espace R6 des contraintes par l’intermédiaire d’une fonction scalaire f du tenseur σ, dénommée critère limite (d’élasticité, de plasticité ou de rupture). Cette fonction dite de charge : f = σ eq − σ T Le critère est satisfait si ⎧f < 0 ⎨ ⎩f = 0 élastique plastique σR σT σT σT E σT Fragile Ductile