Théorème de Bernoulli

manifestation d’une propriété de la dynamique des fluides formalisée par le physicien suisse Daniel Bernoulli : plus la vitesse d’un fluide augmente plus sa pression diminue et inversement. On nomme cette loi le théorème de Bernoulli. La différence de pression entre les deux faces de l’aile se traduit en une force verticale : la portance. Certaines personnes remettent en cause l’application du théorème de Bernoulli à la propulsion du nageur. Cela ne signifie pas pourtant que la portance n’a pas d’intérêt

avec n > 0 et p ∈ [0, 1] : P(X = k) = Cn p (1−p) k Géométrique(p) avec p ∈ [0, 1] : P(X = k) = p(1 − p) pour k ∈ N . k −λ λ Poisson(λ) avec λ > 0 : P(X = k) = e pour k ∈ N. k! Bernoulli(p) avec Lois discrètes usuelles Exercice 1 Exercice 2 Donner l'expression et "tracer" les fonctions de répartitions de loi de Bernoulli de paramètre 2/3 puis de loi géométrique de paramètre 3/4. 1. 2. 3. Rappeler la formule du binôme de Newton. En déduire que la loi binomiale de paramètres

On a donc le résultat suivant. Théorème 26.1 Une série à termes positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est majorée. En cas de divergence, on a lim Sn = +∞. n→+∞ Dans le cas des séries à termes positifs, on écrira un < +∞ pour signifier que cette dernière converge. Cette notation étant justifiée par les considérations précédentes. En cas de divergence, on a un = +∞. 26.2 Les séries de Riemann Théorème 26.2 Soit α un réel. La série de Riemann

l'échantillon est de petite taille). Notons X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille n, associe sa moyenne ( X s'appelle encore la distribution des moyennes des échantillons). Que peut-on dire de cette variable aléatoire X ? Théorème Central Limite - Version 1 - (Version faible) Contexte : variable aléatoire X qui suit une loi normale sur la population X  N( ; ) On prélève, au hasard, un échantillon (tirages avec remise(1) ou assimilés) de taille n de moyenne X . Alors la

. f '(x) = 3x² – 12x = 3x (x – 4) a pour racines 0 et 4 , et est positif à l'extérieur de ces racines. Donc f '(x) < 0 sur [ 0 ; 4 ] ⇒ f strictement décroissante sur [ 0 ; 4 ] f(0) = 6 { f(4) = –26 ⇒ 0 est entre f(0) et f(–26) On conclut avec le théorème de la bijection. Avec la fonction TABLE de la calculatrice, on obtient 1,107 < α < 1,108 . π . (Utiliser la calculatrice pour développer) 3 3 3 3 1 1 1 z' = e–iπ/3 (z – i) + i ⇔ z' = ( – i ) (z – i) + i ⇔ z' = ( – i )z– + i 2 2 2 2 2 2 0,1 2.3. Soit

Corrigé Métropole S A. P. M. E. P.  −x  u(x) = −e −x et 4. • (x + 2)e dx est de la forme . u (x)v(x) dx, où u et v sont les fonctions définies sur R par  0 0 v(x) = x + 2 Les théorèmes généraux permettent d’affirmer que les fonctions u et v sont dérivables sur R et que leurs dérivées sont continues sur R : le théorème d’intégration par parties peut alors être appliqué : 2 2 2 0 (x + 2)e−x dx 2 = = = 0 u (x) × v(x) dx [−(x + 2)e−x ]2 − 0 2 = −e−x dx 2 0 [u(x) × v(x)]2

entier naturel n, d’après la question 2., un 0 donc un+1 0 1 − e−n 1 − e−n − un+1 donc un . or, d’après la question 3., un = n n 1 − e−n 1 − e−n 4. Pour tout entier naturel n, 0 un . Or lim = 0 (car e−n tend n→+∞ n n 1 vers 0 ainsi que ). Selon le théorème des gendarmes, la suite un converge n aussi vers zéro. E XERCICE 2 → → → − − − L’espace est muni d’un repère orthonormal O, ı ,  , k . On note (D) la droite passant par les points A(1 ; −2 ; −1) et B(3 ; −5 ; −2). 4 points e−nx dx 1 + e−x

développé le calcul des probabilités et des méthodes statistiques sont apparues en Allemagne, en Angleterre et en France. Beaucoup de scientifiques de tous ordre ont apporté leur contribution au développement de cette science : PASCAL, HUYGENS, BERNOULLI, MOIVRE, LAPLACE, GAUSS, MENDEL, PEARSON, FISCHER etc.... Actuellement, beaucoup de domaines utilisent les méthodes statistiques ( médecine, agronomie, sociologie, industrie etc....). Définition : La Statistique, c'est l'étude des variations observables

6.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.5 Comparaison des modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.6 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.7 Le théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Bibliographie 125 c ⃝Boukhari.F Introduction Ce manuscrit est une introduction au calcul des probabilités

dans [0 , 4] sans justification. Il y a 2 solutions : une sur [0 , 2.5] et une sur [2.5 , 4] puisque la fonction croît de 5 à 6.07 (arrondie) puis décroît de 6.07 (arrondie) à 5.84 (arrondie). Une démonstration plus rigoureuse ferait intervenir le théorème de la bijection à appliquer deux fois sur chacun des deux intervalles. 2.a) On admet, d’après l’énoncé, que la fonction R(x) est la recette correspondante en centaines de milliers d’euros au prix de vente unitaire du modèle de lunettes solaires.