Théorème de Bernoulli

Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Opérations sur les variables aléatoires . . . . 2 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . 2.4.1 Loi

∩ élevage 1 0, 09 9 3 On a donc : p gris (élevage 1) = = = = . p(gris) 0, 21 21 7 2. On suppose qu’il y a assez d’alevins pour que la probabilité d’avoir un alevin en vie au bout de trois mois est toujours égale à 0, 92. On a donc une épreuve de Bernoulli avec n = 5, p = 0, 92. La probabilité d’avoir 3 alevins en vie sur 5 au bout de trois mois est donc égale à: 5 0, 923 × (1 − 0, 92)2 = 10 × 0, 923 × 0, 082 ≈ 0, 049 ≈ 0, 05 à 10−2 près. 3 3. On a le tableau de loi de probabilité suivant : couleur

la sphère S et du plan P. 9 Maths Term S Le sujet Pas à pas ➤ Mobiliser ses connaissances Thèmes du programme Produit scalaire dans l’espace, représentation paramétrique d’une droite, définition d’une sphère, équation cartésienne d’un plan, théorème de Pythagore. Produit scalaire : • Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est le nombre réel noté u · v défini par : u · v = 12 u + v 2 − u 2 − v 2 u · v = u × v cos α ou, si α est une mesure de l’angle géométrique associé à u et v, par : u

probabilité de transition de l’état i à l’état j en m étapes. On note P (m) la matrice d’ordre r dont l’élément situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j vaut pij(m ) . 3 Remarque : P (1) = P et P (0) = I (la matrice identité). 70 Théorème 1 : ∀m≥ 0, la probabilité de passage de i à j en m étapes est égale à l’élément (i, j) de la matrice P m. Preuve. La démonstration se fait par récurrence sur m en appliquant la formule des probabilités totales. ■ Ce résultat est un cas particulier

Arthur CHARPENTIER - econometrie de la finance (2008/2009) On the Gaussian distribution The Gaussian distribution is very important for many reasons, • it is a stable distribution, i.e. it appears as a limiting distribution in the central limit theorem : for i.i.d. Xi ’s with finite variance, √ X − E(X) L n √ → N (0, 1). VX • it is an elliptic distribution, i.e. X = µ + AX 0 where A A = Σ, and where X 0 has a spheric distribution, i.e. f (x0 ) is a function of x0 x0 (spherical level curves), 16

223 Sommaire Séquence 5 p.299 1ère partie Produit scalaire (1) 2e partie Suites numériques (1) Séquence 6 p.361 1ère partie Dérivation (2) application aux variations des fonctions 2e partie Probabilités (2) : loi de Bernoulli, loi binomiale Séquence 7 p.419 1ère partie Produit scalaire (2) : applications 2e partie Problèmes Séquence 8 p.463 1ère partie Suites numériques (2) 2e partie Echantillonnage Sommaire général – MA12 3 C onseils

de la temperature 0 Les aimantations de (A) et de (B) dependent de la temperature. Le champ magnetique cree par l'aimant torique et le moment magnetique de l'aimant mobile dependent donc de la temperature. 0 C Approximation gyroscopique 1. Le theoreme du moment cinetique s'ecrit soit en posant d;! = M;! u ^ ;! B (P) dt F Cas des aimants conducteurs Dans le cas de materiaux conducteurs, il appara^t des courants induits. Il n'y a plus conservation de l'energie. d;! = ;! ^ ;! dt Partie IV Levitation

cette force, la plus simple étant l'application du théorème de Bernoulli, célèbre physicien du XVIIIe siècle (1700-1782), qui a étudié les réactions des fluides en mouvement au voisinage de corps solides. Il a réussi à prouver que lorsque la vitesse d’un fluide à proximité d’un solide augmente, la pression diminue. C’est pourquoi la pression de l’extrados a tendance à diminuer et le boomerang est donc comme aspirer en l’air. Théorème de Bernoulli: c’est la somme des pressions et des énergies mécaniques

Dénition 2 Soient y : I → Rm , y : I → Rm des solutions de (E). On dit que y est un ˜ ˜ ˜ Dénition 3 On dit qu'une solution y : I → Rm est maximale si y n'admet pas de ˜ I. De ces dénitions découle directement le résultat suivant : ˜ Théorème 4 Toute solution y se prolonge en une solution maximale y (pas nécessairement unique). 2.1.2 Solutions globales On suppose ici que l'ouvert U est de la forme U = J × U où J est un intervalle de R et U un ouvert de Rm . Dénition 5 Une solution

rectangle d'or Un rectangle d'or est un rectangle tel que le rapport LONGUEUR = largeur 1 1/2 Démonstration : D'après la construction, on commence par construire un triangle ABE rectangle en A avec pour dimensions AB = 1 et AE = ½. D'après le théorème de Pythagore, on peut écrire : EB² = AE² + AB² d'où EB=  AE² AB² =   ²1²=  1 2  1 5 5 1= = 4 4 2 1 5 1 5  = = 2 2 2  Ainsi, la longueur AD du rectangle est égale à AE + EB =  2-Les triangles d'or  −1  2