Théorème de Dirichlet

Si A admet un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure de A. Si A admet un plus petit élément, alors c'est la borne inférieure de A. • Théorème d'existence Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure). 3.3 Droite numérique achevée Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent, on considère un nouvel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés −∞ et +∞ . On prolonge à R la relation

5.5.1 Approche spectrale dans le cas où S est ni . . . . . . . . . . 5.6 Théorie L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Formes de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Le cas réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Entropie relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 70 73 75 77 79 85 87 93 93

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il

exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une «

redécouverte au milieu du XVIè s. Fermat annotera abondamment la marge de son exemplaire (son fils rééditera l'Arithmetica avec les notes de Fermat). Il était annoncé, plus rarement prouvé, de nombreux théorèmes. En 1840, tous étaient démontrés ou invalidés. Tous sauf un : la conjecture appelée grand théorème de Fermat, qui a maintenu les mathématiciens en haleine jusqu'en 1994.   En marge du problème qui consiste à trouver des carrés qui sont sommes de deux autres carrés (on appelle cela chercher des

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes stochastiques 77 3.1 Introduction aux probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Le théorème central de la limite et les lois fortes des grands nombres 99 3.4 Espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Loi de Poisson et loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.6 La loi du Chi deux . .

lim 1− n 3 = −∞ donc, par comparaison n →+∞ or lim b = −∞ . n→+∞ n Corrigé séquence 1 – MA02 15 ▶  Pour tout n or n ∈N , sin n ≤ 1  3 0 ≤ cn ≤    4 donc n n  3 (car   ≥ 0 )  4  3 3 = 0 (car −1 < < 1) d’où par le théorème des gendarmes lim   n →+∞  4  4 lim   c n = 0 puis lim c n = 0. n →+∞ n →+∞ tout n ∈N , −1 ≤ cos n ≤ 1 donc n − 1 ≤ n + cos n ≤ n + 1 . De plus, pour tout n ≥ 2, 3 − 2n < 0 1 n + 1 n + cos n n − 1 donc < 0 ainsi par produit, pour tout n ≥

mécanique quantique. En logique, Von Neumann propose une nouvelle axiomatisation de la théorie des ensembles, et une construction rigoureuse des nombres ordinaux. Il abandonne cette discipline à la suite des travaux de Gödel et notamment de son célèbre théorème d'incomplétude. En mécanique quantique, il unifie les théories de Schrödinger et de Heisenberg. Il apporte notamment le puissant outil des algèbres d'opérateurs (dites algèbres de Von Neumann).   En 1929, peu avant de partir aux Etats-Unis, Von