Théorème de Dirichlet

MECANIQUE DES STRUCTURES John BOTSIS, Professeur EPFL/DGM OJECTIFS Connaître les lois, principes et théorèmes de base concernant le comportement des corps solides déformables, ainsi que les méthodes d’analyse de systèmes simples, statiques et hyperstatiques. Etre en mesure de calculer les composants et structures élémentaires de la construction mécanique. CONTENU 1. Propriétés des matériaux et équilibre intérieur : généralités – hypothèses fondamentales – propriétés mécaniques des matériaux

cardinal (card Y )card X−1 . Comme il y a (card Y ) parties, le cardinal de F(X, Y ) vaut bien (card Y )card X . Principe des tiroirs. — Comme cons´quence du principe des bergers, on a le principe des tiroirs e (utilis´ pour la premi`re fois par Dirichlet(11) au xixe si`cle) : « si une commode de trois tiroirs e e e contient quatre paires de chaussettes, l’un des tiroirs en contient au moins deux. » Principe des tiroirs. — Soit X un ensemble fini et soit (Ai )1≤i≤m une partition de X. Si card X > m

➢ Equilibre. Cauchy : Quelle est la mesure de contrainte intéressante pour les grands déplacements ? La meilleure contrainte est celle de Cauchy, c’est la contrainte vraie, la limite élastique est au sens de Cauchy Cauchy : que dit le théorème de décomposition polaire de Cauchy ? Il existe deux façons de passer de la conformation initiale à la conformation finale, cela se passe en deux décompositions de forces qui sont : F=RU et F=UR R matrice de rotation U matrice de déplacement

des matières 1 Équations de conservation 1.1 Théorèmes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 Théorème de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . Conservation de l’énergie, théorème de Bernoulli . . . . . . . . . . . . Forme générique

Échantillons et sous-populations 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 33 33 35 40 41 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une

∫∫ ϕ s n′ ds n′ n′ est la normale à la surface S délimitant V orienté vers l’intérieure. En faisant intervenir la normale ∫∫ ϕ s n′ V n orienté vers l’extérieur : ds = − ∫∫ ϕ n ds = − ∫∫ ϕ n nds s S dS n s S dS En appliquant le théorème d’OSTROGRADSKY: n′ − ∫∫ ϕ n nds = − ∫∫∫ divϕdV s V En vertu du 1er principe on a: ∂T ∫∫ s ϕn′ds + ∫∫∫V qdV = ∫∫∫V ρCp ∂ t dV V ∂T − ∫∫∫ divϕdV + ∫∫∫ qdV = ∫∫∫ ρ Cp dV V V V ∂t Sous forme différentielle: ∂T ρ Cp = -divϕ + q ∂t C’est la loi

sous-populations 33 33 35 40 41 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 45 46 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité

Principe des probabilités composées Événements indépendants 33 33 35 40 41 42 42 44 44 III i i i i i i “doc” — 2006/8/9 — 11:52 — page IV — #2 i 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité

Solutions to exercises 10. A chaotic end? 1. Introduction 2. Literature 3. The Second World War 4. Abstraction and ‘Bourbaki’ 5. The computer 6. Chaos: the less you know, the more you get 7. From topology to categories 8. Physics 9. Fermat’s Last Theorem Appendix A. From Bourbaki, ‘Algebra’, Introduction Appendix B. Turing on computable numbers Solutions to exercises Conclusion Bibliography Index 228 231 231 232 232 235 235 236 238 240 243 246 249 251 254 256 256 258 260 263 271 List of figures

propriété fondamentale qui permettra notamment d’étudier le devenir du rapport signal sur bruit lors du traitement des signaux RMN. 2.3 Quelques transformées de Fourier usuelles D’après les propriétés de la transformée de Fourier et en particulier du théorème de convolution, on voit qu’à partir d’un nombre restreint de « couples » connus, on peut reconstruire un bon nombre de transformée de Fourier. 2.3.1 Fonction constante La transformée de Fourier d’une fonction constante est la fonction de Dirac,