Théorème des bornes

uniformément continue en un point ! On exprime cela en disant que l’uniforme continuité est une notion globale. Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard mathprepa.fr Page 496 20.2 Continuité par morceaux Chapitre 20 : Intégration Le théorème de Heine Le théorème suivant dit que « la continuité sur un segment implique la continuité uniforme ». Proposition 20.1.1 (héorème de Heine) Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] de R, à valeurs dans K. Alors la fonction f est uniformément continue

de commande du moteur Question N ° 7 (répondre sur copie) Si les relais Rel2 et Rel3 sont aux repos, donner la valeur de la tension Um aux bornes du moteur. Si les relais Rel2 est au repos et Rel3 est activé, donner la valeur de la tension Um aux bornes du moteur. Si les relais Rel2 est activé et Rel3 est au repos, donner la valeur de la tension Um aux bornes du moteur. Question N° 8 (répondre sur copie) En vous aidant du schéma structurel page 8/13, donner le type de capteur utilisé pour la détection

2 x 3° Propriété des valeurs intermédiaires a - Théorème des valeurs intermédiaires y f(b) f(x)=k f(a) O a c b x Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ; b]. Soit k un réel quelconque situé entre f(a) et f(b) (ces deux valeurs comprises) ; alors il existe au moins un réel c dans [a ; b] tel que f(c) = k. Mathématiques Terminale ES – V06/09 – page 4 © Complétude 2009/2010 b - Cas d’une fonction monotone « Théorème de la bijection » Soit f une fonction continue et strictement

convexe. Dénition 1.1.4. Soit C un sous-ensemble de E. Soient k ∈ N∗ ; x1 , x2 , . . . , xk ∈ C et k α1 , α2 , . . . , αk ∈ [0; 1]/ αi = 1. i=1 Alors la quantité k i=1 αi xi s'appelle combinaison convexe des xi , i = 1, . . . , k . Théorème 1.1.1. Soit C un sous-ensemble de E. Alors, C est convexe si et seulement si C est égal à l'ensemble des combinaisons convexes de ses éléments. C'est-à-dire : C est convexe si et seulement si k k C={ i=1 αi xi ; k ∈ N ; xi ∈ C, αi ≥ 0, i

n s'appelle le degré du polynôme. On note n=deg(f). Propriété : Deux fonctions polynômes sont égales lorsqu'elles ont le même degré et les mêmes coefficients. Racine d'un polynôme : Le nombre a est appelé racine d’un polynôme f lorsque f(a) = 0. Théorème : a est une racine du polynôme f si et seulement si il existe un polynôme g tel que f  x  =  x − a  g  x  . Dans ce cas deg(g) = deg(f) – 1 = n−1 On dit aussi que le polynôme f  x  est factorisable par  x− a  n− 1 Pour déterminer le

fonction numérique f définie par ( ) 2 sinf x x x= − 1) Montrer que pour tout x réel 2 1 ( ) 2 1x f x x− ≤ ≤ + 2) En déduire les limites de f lorsque x tend vers + ∞ et lorsque x tend vers ∞− Exercice n°13. Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en ∞+ et en ∞− de chacune des fonctions f suivantes (si elles existent): 1) 1 cos( ) xf x x + = 2) 2 sin( ) 1 x xf x x = + ; Exercice n°14. On veut trouver la limite en +∞ de x xxf ²1: + 1) Montrer que pour

différentielle linéaire du premier ordre : 1.1.1. Utilisation en électricité : Le circuit RC est un filtre que l’on rencontre très souvent en électricité : i(t) R On peut écrire la loi des mailles : . i(t) C ve(t) vs(t) Aux bornes d’un condensateur, (avec les conditions de courant ci-contre), on a : La relation entre la grandeur d’entrée du montage ve(t) (tension connue) et la grandeur de sortie vs(t) (tension inconnue) est une équation différentielle du premier ordre à

I. NOTIONS GENERALES I.1 Loi d'Ohm Si on applique une tension (pression) U aux bornes d'une résistance R, il en résulte la circulation d'un courant I lié aux deux grandeurs précédentes par la relation : U = R I . U : en Volt (V) R : en Ohm (Ω) I : en Ampère (A) I U = Va - Vb + U Fig. I-1 : convention de dessin R A I R B I.2 Puissance Un composant ayant une tension U à ses bornes et qui est traversé par un courant I dissipe une puissance P (en général par effet joule

transforme une somme en un produit (c’est-à-dire que pour tous réels x et y, e x + y = e x × e y ). On a ainsi démontré que : eln(ab ) = eln a + ln b et par suite : ln(ab ) = lna + ln b. Séquence 5 – MA01 9 © Cned - Académie en ligne Résumons : Théorème Pour tous réels a et b strictement positifs, ln(ab ) = lna + ln b. La fonction ln transforme un produit en une somme. Remarque Nous avons vu à la séquence 4 que la fonction exp transforme une somme en un produit. Par conséquent, il n’est pas étonnant

d’erreur 7 second terme est plus petit que Kη pour une certaine constante K > 0. Au final, on a (1.1) avec M = K + 1. Un second résultat, très important, est le suivant : la stabilité et la consistance impliquent la convergence. C’est un méta-théorème de l’analyse numérique, qui doit cependant être vérifié au cas par cas. Esquissons la structure de la preuve (nous verrons un cas particulier en Section 3.3.2). Rappelons tout d’abord qu’il suffit de montrer des estimations du type (1.2). On a x(d +