Théorème des nombres premiers

0/Genreralite - Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. - Toute

le livret pourra être mise en place à la rentrée. I. Calcul numérique QCM (il peut y avoir plusieurs réponses exactes) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D suite QCM A 11 Le nombre égal à est B C D Le nombre positif dont le carré est 2 positif Le carré de 2 12 13 14 15 16 17 est un nombre 18 Un exemple de nombre irrationnel est entier décimal rationnel irrationnel II. Calcul littéral : Factorisation – développement – résolution d’équations. 1) QCM (il peut y avoir plusieurs réponses

Pour trouver le PGCD de deux nombres on utilise les soustractions successives ou l'algorithme des divisions successives d'euclide : Dividende | Diviseur | Reste | 182 117 65 52 | 117 65 52 13 | 65 52 13 0 | Le PGCD est le dernier reste avant 0 : PGCD (182;17)=13 Les nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1, il ont un seul diviseur commun:1 *une fraction irreductible est une fraction que l'on ne peut plus simplifier. Le théorème de thales : Soient (AB) et

Le cas échéant, cela s’accompagne d’une mobilisation éclairée et pertinente des logiciels de calcul formel. Équations Résolution graphique et algébrique d’équations. Mettre un problème en équation. Résoudre une équation se ramenant au premier degré. Encadrer une racine d’une équation grâce à un algorithme de dichotomie. Pour un même problème, combiner résolution graphique et contrôle algébrique. Utiliser, en particulier, les représentations graphiques données sur écran par une

+ 3) = III. Démontrer que pour tout nombre x : (x + 1)²– (x – 1)² = 4x Quelle égalité obtient-on si l’on remplace x par 20 ?. En déduire 21² – 19² IV. Les nombres 1743 et 456 sont-ils premiers entre eux ? Justifier. V. a) Calculer le PGCD des nombres 135 et 210. b) Ecrire sous la forme irréductible la fraction 135 (on indiquera le détail des calculs). 210 c) Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme

CHAPITRE 1 Théorème des résidus et applications Inspiré de [?] 1. Fonctions méromorphes et séries de Laurent 1.1. Zéros et pôles. Proposition 1.1. soit U un ouvert, z0 ∈ U , et f ∈ H (U \ {z0 }). On est alors nécessairement dans un des cas suivants : (1) la fonction f peut être prolongée en z0 par continuité et dans ce cas, ˜ le prolongement vérie f ∈ H (U). z0 est une singularité éliminable ou articielle (2) (3) Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en

199 [Déclic] : Des nombres obtenus par un procédé. 1 Notion de suite numérique 1.1 Définition Définition : Une suite numérique est une liste indexée de nombres. Elle a un premier terme, un deuxième terme, etc. Exemple : Dans l’activité 1 page 199, à chaque entier naturel, on associe un nombre suivant sa place dans la liste donnée. Ainsi : u (0) = 8 u (1) = 6 u (2) = 9 u (3) = 2 u (4) = 2 ième Plus généralement, le terme u (n) correspond au (n − 1) terme de la liste de nombres donnée. Remarque

strictement positif) . CQFD. b. Appliquons maintenant le théorème des gendarmes : «  Si une fonction f est encadrée par deux fonctions k et h ayant même limite l en a, alors f a pour limite l en a. » Or ici, pour tout x différent de 0, f est encadrée par les fonctions [pic] et [pic] (cf. a .), qui tendent toutes deux vers 0 par valeurs supérieures en + [pic] et - [pic]. Les conditions d’application du théorème sont donc réunies et on a : [pic] par valeurs supérieures

deux noeuds ne sont pas isotopes. Cet algorithme existe, mais est Diculté La diculté principale est qu'il existe des noeuds trop compliqués: Figure 3: Exemple de noeud sauvage (Wild Knot) Déf: Un noeud est polygonal s'il existe un nombre ni de points p1 , ..., pn ∈ R3 tels que n K= i=1 où li est la droite allant de li pi à pi+1 . 2 Figure 4: Exemple de noeud polygonal Déf: Un noeud est dit modéré (tame) s'il est isotope à un noeud polygonal.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 L'induction 3.0.21 3.0.22 Théorème (Bon ordre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe d'Induction (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 15 15 15 Bekkali 3.0.23 Notions fondamentales