Théorème des zéros de Hilbert

Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes de Jacobi et Polynômes de Tchebychev 02 David Hilbert David Hilbert a donné l'impulsion de nombreuses recherches mathématiques du

Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre

. . . . Théorème de Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule du crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . Inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismes de Sn dans × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère de conjugaison des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Wilson

élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 33 34 34 34 35 Algèbre euclidienne et hermitienne 8

exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une «

Objectifs : maîtriser et appliquer les outils mathématiques de l'analyse des signaux et des images. Approfondir les connaissances en technique; être au courant des recherches; être capable de développer des applications réelles. Contenu : espaces de Hilbert. Séries de Fourier, transformées de Fourier, transformée de Fourier discrète et FFT. Analyse des signaux par ondelettes : ondelette de Haar, analyse multirésolution, ondelette de Daubechies et transformée en ondelettes. Distributions. Applications

20 21 21 23 24 24 26 27 27 27 27 28 28 29 30 II Échantillonnage et quantification 1 Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Première démonstration du théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Seconde démonstration du théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Rappel sur le lemme de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calcul de la prime d’une option européenne 1.5 Points essentiels du chapitre . . . . . . . . 1.6 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . 1.A Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.A.1 Preuve du Lemme 1.2.3 . . . . . . 1.A.2 Preuve du Théorème 1.3.2 . . . . . 7 7 8 10 11 11 11 12 12 12 15 15 16 17 17 19 19 20 21 21 22 22 22 23 23 24 24 25 25 25 26 26 27 29 31 34 35 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de

l’usager de vérifier les informations données par comparaison à la littérature existante. SPIN : 11747024 Couverture : Jean-François Montmarché Préface Paul Erd˝ s aimait parler du Grand Livre, dans lequel Dieu inscrit les preuves o parfaites des théorèmes mathématiques, suivant ainsi la remarque de Hardy : il n’y a pas de lieu permanent pour les mathématiques laides. Erd˝ s disait o aussi que l’on n’a pas besoin de croire en Dieu, mais qu’en tant que mathématicien, on doit croire au Grand Livre. Il