Théorème du rang

irrationnels 1. Supposons n rationnel. Il existe deux entiers naturels p et q premiers entre eux tels que : n= p et q dans ce cas : p 2 = n q 2 . Or, si p et q sont premiers entre eux, les entiers p2 et q2 le sont aussi1… D’après le théorème de Gauss, p2 divise n : il existe un entier naturel u tel que : n = p 2 u . Ou bien n = u = 0 auquel cas n est entier, de même que sa racine carrée, ou bien les entiers u et q vérifient la relation : 1 = u q 2 qui n’est réalisée que si 1 = u =

Suite arithmétique de raison r dénition par une relation de récurrence ......... un+1 = q × un Suite géométrique de raison q = 1 formule explicite du terme de rang n ......... un = u0 + n r somme de n + 1 termes consécutifs : up +up+1 +. . .+up+n = (up + up+n ) (n + 1) 2 up (1 − q n+1 ) 1−q Théorème 1 • Si q est un réel tel que q > 1 alors • Si −1 < q < 1 alors n−→+∞ n−→+∞ lim q n = +∞ lim q n = 0 • Si q ≤ −1 alors la suite (q n )n∈N n'a pas de limite

sous-ensemble de R . Ainsi une suite réelle est une fonction : 3 Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI & S. HAKAM 6 ½ u : P ⊂ IN −→ IR n 7→ un On pose : u(n) = un et on appelle un le terme général de la suite. un est aussi appelé terme de rang n. Si P = N, la suite de terme général un sera notée par (un )n ou (un )n∈N ou {u0 , u1 , ..., un , ...} (dite écriture en extension). up−1 désigne le peme terme de la suite. Remarque: 1) On définit une suite notée (un ) par son terme général un et

(resp. plus petit élément), alors celui-ci est unique. Preuve. Soient x, y deux plus grands éléments. Comme y ∈ A et x pge on a y ≤ x. De même, x ∈ A et y pge donne x ≤ y. Par antisymétrie de la relation ≤, on a x ≤ y et y ≤ x implique x = y. Théorème 1. On munit N de la relation d’ordre usuelle. Alors : 1) Tout sous-ensemble non vide de N admet un plus petit élément. 2) Tout sous-ensemble non vide et majorée de N admet un plus grand élément. 1.3. MAJORANT, PLUS GRAND ÉLÉMENT, BORNE SUPÉRIEURE

l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. L’usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent être éteints et rangés. Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre Comptez environ 45 minutes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Continuité 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . 3.2 Théorème des valeurs intermédiaires 3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . 4 Dérivation 4.1 Généralités 4.2 Opérations 4.3 Variations 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Base & hors-base 4 Solution de base 4 Exemple 5 Caractérisation d’une base réalisable 5 Théorème 5 Solutions optimales 5 Caractérisation des bases optimales 5 Théorème 5 Exemple classique 6 Algorithme du simplexe – Méthode des tableaux 6 Méthode 6 Exemple classique 7 Analyse du tableau final du simplexe 8 Méthode révisée du simplexe 9 Convergence & Initialisation du simplexe 10 Théorème : Convergence de l’algorithme 10 Initialisation 10 Initialisation : Méthode du gros M 10 Initialisation :

7.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Changement de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . 7.5 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Quelques propriétés des nombres algébriques6 II.1. Définitions6 II.2. Propriétés7 II.3. Dénombrabilité des nombres algébriques7 III. Les nombres transcendants8 III.1. Définitions8 III.2. Construction d'un nombre transcendant9 III.2.a. Théorème de Liouville9 III.2.b. Les nombres de Liouville10 III.2.c. La constante de Liouville11 IV. Transcendance de e12 IV.1. Plan de la démonstration12 IV.1.a. Définition12 IV.1.b. Description de la méthode12 IV.2. Démonstration de la transcendance

variations de la suite. Imaginons qu’ils soient rangés dans l’ordre décroissant, la proposition pourra s’écrire P(n) : « un +1 ≥ un ». Comment peut-on montrer qu’une suite converge ? si un est explicitement en fonction de n, on calcule directement la limite. si on a déjà prouvé qu’elle était minorée (par exemple un ≥ 0 ), on vérifie qu’elle est décroissante. idem avec une suite croissante et majorée. si on a des encadrements dans l’exercice, on tente le théorème des gendarmes. Comment peut-on calculer la