Theorème De Thalès

10 8 6 4 2 0 Figure 4: Soil treatment zone – Placement impact quadrant 15 Chapitre 1 • Fundamental principles of the graphic comparison method 1.3.4 - Quadrant 4 Using a simple geometrical construction (Thales’ theorem), this quadrant enables to go from the impact per m3 of treated soil to the impact per m2 of treated soil (figure 5). It is this value that will be considered in order to compare the impact of the Soil treatment technique and the impact of the

ou fonction ? 1 G Il existe deux solutions qui sont en fait les mêmes, en tournant la figure de 90°. Les dimensions du rectangle sont environ 0,87 et 1,8. 2 G En notant x le côté [AB] du rectangle, on obtient la longueur OI à l’aide du théorème de Pythagore appliqué au triangle OIB (figure ci-contre). On peut donc exprimer l’aire du rectangle f(x) en fonction de x : OI2 = OB2 – IB2 d’où OI =  x 1−   2 2  x et f (x) = x × 2 1 −   .  2 2 ≈ 1,57 . 2 Or l’aire du disque

moyen de reporter une longueur est de tracer des cercles. d. En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles homothétiques ABE et ABC, on AE AD 5 = , soit AE = . obtient AC AB 7 1. Calcul algébrique • 15 2 On modifie le rayon des cercles de la figure précédente : AB = 11 et AD = 17, d’où AE = ● Partie B 1 ● La construction suggère que AB = 17 . 11 a . 2 a. ● En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles AHC et AHB rectangles en H de la figure, on

rayon du cercle  I est le projeté orthogonal de C sur  IJ donc le triangle JCI est rectangle et isocèle en I. Dans le triangle AIJ on a JAC AJC ACJ      ACJ JAC AJC    6 4 12 ACJ                   . 3. a) Le théorème de Pythagore dans le triangle ICJ permet d’écrire : 2 2 2 6 6CJ IC IJ CJ     .  . . 3 3 3AC AJ AI AJ AI AJ     car AI et AJ colinéaires de même sens. b)   2. . . .AC AJ CA CJ AC AJ CJ AC AC AC     . c) . 2 3 6 12 12 CA CJ

Chasles et/ou la bilinéarité du produit scalaire. 1. −−−→ DC · −−→DB 2. −−→ AB · −−−→ AD 3. −−→ AB · −−→ CA 4. −−−→ CD · −−→BD 5. −−→ AC · −−→BD 6. −−−→ OC · −−−→ DA B D C A 2 O Solution : On peut remarquer dans un premier temps qu’en utilisant le théorème de Pythagore, on démontre facilement que les diagonales de ABCD ont pour longueur√ 8, soit 2 √ 2. 1. −−−→ DC · −−→DB = ‖ −−−→ DC ‖ × ‖−−→DB ‖ × cos (−−−→ DC , −−→ DB ) =DC ×DB× cos (−−−→ DC , −−→ DB ) = 2× 2 √ 2× cos (π 4 ) = 4 √ 2× √ 2 2 = 4 2.

Pliage et nœud Constructions à partir d'un côté 12. Construction à partir d'un carré inscrit dans un demi-cercle 13. Construction d'architecte Constructions approchées 1. Construction de Dürer 2. Pliage d'une feuille A4 3. Construction dite "de Thalès" 4. Les étoiles de Compostelle Faire des maths … avec GéoPlan : http://debart.pagesperso-orange.fr Document Word : http://www.debart.fr/doc/pentagone.doc Document PDF : http://www.debart.fr/pdf/pentagone.pdf Document HTML : http://debart.pagesperso-orange

celui de saint Anselme par un de ses correspondants nommé Caterus : imaginons un lion, le roi des animaux, cela ne lui donne pas l’existence ; ou au XVIIIème siècle par Kant : imaginons une somme de 100 thalers (une monnaie prussienne, ancêtre du dollar). 100 thalers possibles ne sont pas 100 thalers réels (formulant cette objection Kant donne à la preuve anselmienne le nom, qui est resté, de « preuve ontologique »). L’un des intérêts de se référer à saint Anselme est que ce dernier répond à Gaunilon

déroule soit en salle banalisée, soit sur informatique. Au départ, les activités proposées permettent la révision de notions simples, accompagnée de nombreux exercices d’application, afin de faire percevoir aux élèves la relation entre les théorèmes (Pythagore, Thalès,…) et leur application sur le terrain (calcul de surfaces, d’angles, de distances, détermination d’un point sur un plan). Puis on demandera aux élèves de travailler sur dossier, c’est à dire de résoudre des études de cas simples liées au

2 ou x = − 2. x 2 = 25 ⇔ x = 5 ou x = − 5. x 2 = − 9 : pas d’antécédents. x 2 = 2 ⇔ x = 2 ou x = − 2 . x2 = 0 ⇔ x = 0 . x 2 = − 1 : pas d’antécédent. x 2 = 1 ⇔ x = 1 ou x = − 1. 1 1 1 x 2 = ⇔ x = ou x = − . 2 4 2 (DE) // (BC). D’après le théorème de Thalès : 4 AD AE DE x f (x) ; = ; f (x) = x . = = 5 AB AC BC 5 4 2. f est une fonction linéaire. i = 64 , 974 mi llions d’habitants. ( ) 31. 1. Soit x′ le cours de l’action le 21 janvier 2010. x ′ = 17, 355 × 1 + 2, 82 9, 53 × 1− 100 100

Exercices pour aller plus loin Exercice 1-1           [pic]                   La zone de d’ombre est un disque, la zone de pénombre et la zone de pleine lumière sont des couronnes circulaires.   2. Indication : Utiliser le théorème de Thalès dans les divers triangles de la figure.   On trouve : [pic] 3. Si la source devient ponctuelle, δ tend vers O et AB = CD car A = C et B = D, il n’y a plus de zone de pénombre, ce dont on peut se convaincre facilement sur le dessin !