Theorème De Thalès

course du Soleil (équinoxe) avec une précision de quelques minutes d’arc. Après les conquêtes d'Alexandre le Grand, Alexandrie deviendra le centre intellectuel de l'antiquité méditerranéenne. Dès avant cette époque, d'ailleurs, des scientifiques grecs (Thalès, Pythagore...) passèrent par l'Égypte, et Euclide y passa sa vie. Mais les Égyptiens ne développent les sciences que dans une perspective pratique (construction architecturale, administration), et ne s'engagent pas dans un examen "scientifique" du

course du Soleil (équinoxe) avec une précision de quelques minutes d’arc. Après les conquêtes d'Alexandre le Grand, Alexandrie deviendra le centre intellectuel de l'antiquité méditerranéenne. Dès avant cette époque, d'ailleurs, des scientifiques grecs (Thalès, Pythagore...) passèrent par l'Égypte, et Euclide y passa sa vie. Mais les Égyptiens ne développent les sciences que dans une perspective pratique (construction architecturale, administration), et ne s'engagent pas dans un examen "scientifique" du

la surface plane S par rapport à un axe Oz, situé dans son plan, est I Oz = y max ∫y 2 (en cm 4 ) dS y min 3.2 Moment d'inertie d'une surface rectangulaire par rapport à sa base Y dy h G y Z z O b h I Oz = ∫ y 2 dS = 0 b h3 3 3.3 Théorème de Huyghens Si Oz // Gz et si y G = d (G, Oz) : I Oz = I GZ + S y G2 I Gz est appelé moment d'inertie propre. Il est minimal pour une direction donnée. 15 Cette relation est souvent utilisée dans le sens suivant I GZ = I Oz − S y G2 Elle montre

raides, les physiciens s’interrogèrent sur l’univers, cherchant à remplacer les anciennes cosmogonies (d’Hésiode en particulier) par des explications éliminant le surnaturel. Les plus célèbres sont Thalès dont nous avons tous étudié le théorème, Pythagore qui nous a laissé sa « table », un théorème non moins célèbre et sa croyance en la métempsychose dont les adeptes ne manquent pas aujourd’hui, Héraclite à qui le devenir incessant du monde a inspiré le panta reï, tout s’écoule, Chapitre 1

IM ) [2π]. Traçons le cercle, noté C , de centre I qui passe par M ; notons r son rayon : r = IM . Traçons le cercle C ′ de centre J et de rayon r 2 . Pour obtenir un segment de longueur r 2 à partir d’un segment de longueur r, on utilise le théorème de Thalès : ● Notons K le point d’affixe 2 + r (le point d’intersection « le plus à droite » - celui dont l’affixe a la partie réelle la plus grande - entre C et la droite des réels), et U le point d’affixe 3. ● Traçons la droite perpendiculaire à l’axe

4P ≥ 0 1er exemple Il s'agit de déterminer les longueurs des côtés d'un rectangle dont on sait que le périmètre vaut 40 m et l'aire 96 m2. 40 Désignons par L1 et L2 les longueurs cherchées, on a S = L1 + L2 = 2 = 20 et P = L1 L2 = 96. D'après le théorème précédent L1 et L2 sont solutions de l'équation x2 – Sx + P = 0, soit x2 – 20x + 96 = 0 Calculons le discriminant réduit, ∆' = 102 – 1 × 96 = 4. Les solutions sont x1 = Donc L1 = 8 et L2 = 12. 2e exemple Soit à déterminer deux nombres réels dont

le rayon de C4 . Propriété admise : Si deux cercles de centre Ω et Ω’ sont tangents en un point M, alors Ω, Ω’ et M sont alignés. Eléments de solution 1. E ∈ [OD], donc OE = OD − ED = 10 − 6 = 4. Dans le triangle AOE rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore : AE 2 = AO2 + OE 2 √ AE 2 = 102 + 42 = 116. On en déduit : AE = 116 30 Olympiades académiques - 2009 Le point E appartient à C2 , donc le triangle ABE est rectangle en E. Les triangles AOE et ABE sont deux triangles rectangles

l'intersection des plans P et P' est une droite parallèle à d et à d'. Cette propriété, dite théorème du toit, est utilisée, par exemple, pour montrer que les arêtes d’un polyèdre sont parallèles. 33 géométrie Configurations du plan géométrie 1. Quelles propriétés peut-on utiliser dans un triangle rectangle ? Quand on veut mettre en relation les longueurs des côtés d’un triangle rectangle, on utilise le théorème de Pythagore qui s’énonce ainsi : dans un triangle rectangle, le carré de la longueur

au milieu de [BF]. Les droites (MN) et (BD) sont alors parallèles et n’ont donc pas de point d’intersection. 1 b. Il semble que IB у BD si, et seulement si, BM у BF. 3 2. a. x ʦ [0 ; 5[ car I ʦ [BJ[. b. Dans le triangle IDN, d’après le théorème de Thalès, IB MB IB x c’est-à-dire car : = = IB+13 ND ID 10 – x ND = HD – HN = 10 – x et ID = IB + BD. c. On a alors, pour x π 5, IB = 3. a. – 6,5 + 13x . 10 – 2x 65 –65 + 13x + 65 = = f (x). 10 – 2x 10 – 2x b. Si 0 р x1

Mise en page sur papier format LETTRE (US letter), 8.5’’ x 11’’) Édition complétée le 5 novembre 200 3 à Chicoutimi, Québec. 2 Alain, Abrégés pour les aveugles (1942) Table des matières 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. THALÈS ET LES IONIENS PYTHAGORE LES ÉLÉATES HÉRACLITE EMPÉDOCLE ANAXAGORE LES ATOMISTES LES SOPHISTES SOCRATE PLATON ARISTOTE DIOGÈNE LES STOÏCIENS ÉPICURE CICÉRON DE LA PHILOSOPHIE RELIGIEUSE DESCARTES Le Doute Distinction de l'âme et du corps Dieu Les