Théorème Hos

Université de Nice-Sophia Antipolis et GREDEG pierre.garrouste@orange.fr Plan  1. Rappels      Préférences Utilité Risque Information La règle de Bayes L’équilibre walrasien L’existence de l’équilibre Le premier théorème du bien-être Le second théorème du bien-être Les externalités Le financement des biens publics La sélection adverse Le hasard moral Les dilemmes Leurs solutions  2. L’équilibre général      3. Les défaillances du marché    4. Les asymétries

les mathématiques sont-elles le modèle de toute vérité ? Si on pose qu’est vrai ce qui peut être connu de la même manière par tout le monde, il existe alors plusieurs méthodes. La démonstration en est une, qui montre comment une proposition (le théorème) découle nécessairement d’autres propositions (les axiomes et les définitions). Chacun peut refaire lui-même le parcours qui va des principes aux conséquences, sans se fier à l’autorité de quiconque. — Mais l’expérimentation en est une autre, qui

animés par une grande fièvre de savoir vont étudier directement dans le texte original, traduire, éditer, tout ce qui a survécu des œuvres de l’Antiquité grecque et latine. Démontrer : démarche scientifique qui prouve grâce à des lois et des théorèmes admis et non discutable. Convaincre : il s’agit de faire admettre à un interlocuteur, le bien fondé d’une idée, cette démarche repose sur l’utilisation d’arguments recevable et acceptable. Persuader : il s’agit de modifier le comportement de la

"Dans toutes les matières dont la preuve consiste en expériences et non en démonstrations, on ne peut faire aucune assertion universelle que par la générale énumération de toutes les parties ou de tous les cas différents. C'est ainsi que, quand nous disons que le diamant est le plus dur de tous les corps, nous entendons de tous les corps que nous connaissons, et nous ne pouvons ni ne devons y comprendre ceux que nous ne connaissons point ; et quand nous disons que l'or est le plus pesant de tous

probabilité qu’un élève fasse de l’anglais sachant que c’est un garçon : 48 |G ∩ A| = . |G| 70 On constate aussi que 48/150 48 P(G ∩ A) = = . P(G) 70/150 70 5.1 Probabilité conditionnelle PB : P(Ω) −→ [0, 1] A −→ PB (A) = P(A ∩ B) P(B) Théorème 1 : Soit B ∈ P(Ω) telle que P(B) = 0. Alors l’application est une probabilité sur Ω. 2 Probabilité conditionnelle et indépendance démonstration : Puisque pour toute partie B de Ω, B ∩ Ω = B, il est clair que PB (Ω) = 1. Soient alors A1

+∞[ par f (x) = xe− 2 . 4 a. La fonction exponentielle est positive sur [0 ; +∞[ donc, pour tout x de [0 ; +∞[, f (x) 0 . b. On en déduit que, pour tout x b. Pour tout x 1 x −x x e 2 . On pose X = . lim X = +∞. 22 2 x→+∞ Par conséquent, d’après le théorème sur la composition des limites, on a : 1 X 1 −X X e = lim . lim f (x) = lim x→+∞ X →+∞ 2 e X X →+∞ 2 x X e On a vu dans la question 1. que lim = +∞ donc lim X = 0. x→+∞ x X →+∞ e Par conséquent : lim f (x) = 0. La courbe C admet donc une asymptote

Dès 14 ans, Blaise Pascal accompagne son père aux rencontres de l'Académie du minime Marin Mersenne, où divers scientifiques débattent de toutes sortes de questions. A 16 ans, il y fait son premier exposé, où il démontre plusieurs théorèmes de géométrie projective, dont la fameuse propriété de l'hexagone mystique inscrit dans une conique. Un an plus tard, il publie Essai pour les coniques. En 1639, Etienne Pascal est promu par Richelieu commissaire à la levée des impôts auprès de l'Intendant

= E   ln δ.(1 − a )     ln(a )  ( ) IV MISE EN EQUATION DU RUGOSIMETRE Question n°4 (quarante minutes) : Déterminer deux équations différentielles sans autre paramétrage géométrique que (x, ), par l’application de principes, théorèmes et méthodes laissés à l’initiative du candidat. Constater que ces équations sont non-linéaires, et 5/17 Mines-Ponts MP 2006 (corrigé) couplées (c’est-à-dire qu’elles ne sont pas réductibles à deux équations à une seule variable chacune). Graphe

en III, sur l'opposition entre "enseignement" de l'expérience et "démonstration" logique, en particulier en montrant qu'on peut, par induction, découvrir un certain nombre de règles (mathématiques par exemple) d'observations empiriques (ainsi le théorème de Pythagore) ; mais que la démonstration stricto sensu permet, quant à elle, de déduire analytiquement ces mêmes règles à partir de lois plus générales sur les triangles. Une autre approche aurait pu, elle, revenir sur le flou du "quelque chose"

supérieures, 0 < e−t tx−1 ∼ tx−1 . Or, puisque x − 1 > −1, la fonction t → tx−1 est intégrable sur un voisinage de 0 et on en déduit que la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur un voisinage de 0. 1 • Quand t tend vers +∞, e−t tx−1 = o 2 d’après les théorèmes de croissances comparées. On en déduit que la t fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur un voisinage de +∞. Finalement ∀x ∈]0, +∞[, la fonction t → e−t tx−1 est intégrable sur ]0, +∞[. b. Soit x > 0. Soient ε et A deux réels tels que 0 < ε <