Transformation de Laplace

et J : le moment d’inertie et f : le coefficient de frottement visqueux * ζ v [d Uiv(t) /dt] +Uiv(t) =µv N avec ζ v : la constante du temps du capteur vitesse et µv : le gain du capteur vitesse * On applique la transformée de Laplace sur ses équations (avec les conditions initiales Ω(0+) =Ω(0)=0 )et on obtient ceci : → Im(p) =ki Usr(p) → Cm(p) =km Im(p) → Cm(p)-Cr(p) = p J Ω(p) +f Ω(p) Cm(p)-Cr(p)=(1+Jp) Ω(p)

(Dirac) ? c) Quelle est la valeur finale de sortie du système pour une entrée échelon ? Exercice n°2 : Donner la transformé de Laplace X(p) de la solution x(t) à l’équation différentielle suivante (on ne cherchera pas à résoudre cette équation). 5⋅ dx(t ) + x(t ) = 4te − 2t + 1 , conditions initiales x(0) = -8. dt Exercice n°3 : Inverser (transformée de Laplace inverse) la fonction de transfert suivante : p −1 F ( p) = p ( p + 1) 2 Exercice n°4 : On considère le système de fonction de transfert

11/36 Laplace  Mathématicien Français (1749 – 1827)  Transformée de Laplace : – Variable temporelle t  variable fréquentielle s – De nombreuses propriétés, on retient :  Dérivée,  Intégrale,  Limite,  Association. 12/36 Laplace Sn GMP2 13/29 Laplace  Signaux : impulsion, échelon, rampe – Impulsion : a(t)  a – Échelon : a   Unitaire a si a=1 – Rampe : at  – Générale : tn  14/36 Laplace  Limite GMP2 15/29 A retenir  Transformé – – de Laplace : dérivée

deux capacités en parallèle ne constituent pas un circuit du second ordre. 2 ANALYSE OPERATIONNELLE DES CIRCUITS LINEAIRES ET INVARIANTS équations font intervenir des équations différentielles du premier ordre (ou, en transformée de Laplace, des polynômes du premier degré), ce qui justifie leur appellation. Exemple 4.1 : Réponse libre d'un circuit RC Considérons le circuit de la figure 4.1. On suppose qu'en t=0 la capacité est complètement chargée à la tension imposée par le générateur

CHAPITRE 2 LA TRANSFORMATION DE LAPLACE La transformation de Laplace est une opération intégrale qui permet de transformer une fonction d’une variable réelle en une fonction d’une variable complexe. Par cette transformation, une équation différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui

SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS (S.L.C.I) Chapitre 1: Caractérisation des systèmes linéaires Plan: 1 -Définitions et propriétés des S.L.C.I. : 2 -Modélisation et réponses des S.L.C.I. : 3 -Transformation de LAPLACE – Fonction de transfert : 4 -Schéma fonctionnel (ou schéma bloc) : Préambule : Ce cours a pour objet la présentation de méthodes permettant la détermination du signal de commande optimal à appliquer au système automatisé (ou à automatiser) compte tenu des performances

sortie. La résolution de ces équations se fait par la transformation de Laplace. L’étude est conduite en deux temps, une première étude est mathématique, puis une seconde expérimentale venant confirmer la théorie. Le système est mal connu, sa mise en équation impossible, seule une étude expérimentale pourra permettre de déterminer les valeurs des paramètres qui interviennent dans la mise en équation du système. - B – TRANSFORMATION DE LAPLACE : - 1 – Mise en équation du système : Soit le système :

La loi de Laplace est une loi donnant la différence de pression (La pression est la force exercée sur une surface donnée.) entre deux milieux dont la surface de séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus...) est incurvée. Dans le cas particulier où la surface est localement sphérique, cette loi s'exprime par :  où P1 est la pression du côté convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de

facilitée par l’utilisation du calcul opérationnel dont la Transformée de Laplace est un élément essentiel 11/09/01 Cours d ’électronique analogique 48 TRANSFORMATION DE LAPLACE (Régime transitoire) f(t)=0 si t≤0 f(t)≠0 si t>0 A une fonction f(t) telle que : on fait correspondre une fonction F(p) où p est une variable complexe. Cette fonction F(p) est appelée la transformée de Laplace de la fonction f(t) et est notée : F(p)=Lf(t) ou encore f(t)]F(p) ∞

Partie IV : calcul opérationnel La transformée de LAPLACE Définitions. Introduction. Afin de résoudre plus rapidement des problèmes mathématiques pour des applications physiques réelles, ont été développées diverses méthodes fondées sur le remplacement de la variable réelle (temps, distance, ...) par des fonctions dépendant uniquement de la fréquence ou par des fonctions de variables complexes dépendant de la fréquence. C’est le cas de l’emploi des séries de Fourier qui permettent de simplifier