Transformation de Laplace

sur la composante de pulsation ! (Figure 4). Amplitude y(t) x(t) Temps Figure 4. Effet d'un filtre réel b) Fonction de transfert Une des propriétés intéressantes de la transformation de Laplace est de transformer une fonction dérivée en une expression algébrique. En notant F(p) la transformée de Laplace d'une fonction f(t), p étant une variable complexe, la d n f(t) s'écrit pnF(p) lorsque l'on ne tient pas compte des transformée de la fonction dérivée n dt conditions initiales

TRANSFORMÉE DE LAPLACE I) Définition : 1) Introduction : Soit un système physique dans lequel nous avons une grandeur d'entrée x(t), la réponse du système étant la grandeur de sortie y(t). L'objectif que l'on se fixe est : connaissant x(t) il nous faut trouver la réponse y(t). Le système est régi par une équation différentielle qui est parfois difficile, compliquée à résoudre même pour des signaux d'entrée classiques. La transformée de Laplace est une fonction qui permet de faciliter

ANALYSE TEMPORELLE DES PRINCIPAUX PROCESSUS 1 Signaux d’entrée Impulsion : Échelon : Rampe : xI = δ xE = u xR (t) = t u(t) ⇔ ⇔ ⇔ XI = 1 XE = 1/s XR = 1/s2 A. 1er ordre à constante de temps FONCTION DE TRANSFERT : H= K 1+ T s 1 s+ 1 T REPONSE IMPULSIONNELLE : YI = H × X I = K K = × 1+ T s T La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YI : y I (t ) = yI(t) K −T e u (t ) T t y I (0 ) = K T K T y I′(0 ) = − y I (∞ ) = 0 y I′(∞ ) = 0 Asymptote

linéaire 1- Système asservi Un système linéaire est défini par des équations différentielles à coefficients constants. On peut associer à ces équations des fonctions de transfert exprimées en utilisant la notation complexe ou les transformées de Laplace (jw = p). 11. Principe Schéma du système en boucle fermée : Consigne (c) erreur (e) H sortie (s) s si s K On souhaite asservir la variable « s » à la variable d’entrée « c ». La variable d’entrée est appelée la consigne elle correspond à l’image

CE(p) U(p) Système F(p) PV(p) R(p) : reférence ou consigne (échelon) (p) : erreur U(p) : commande PV(p) : signal de sortie Dans le cas d’un correcteur proportionnel et intégral la commande s’écrit Soit avec la transformée de Laplace U(p) = Kc [1 + 1/Tip] (p) La fonction de transfert du régulateur vaut 1 + Tip CE(p) = Kc Tip Kc est réglable Ti est réglable et s’exprime en secondes La fonction de transfert en bloucle ouverte s’exprime T(p) = CE(p) F(p) = Kc 1 + Tip

concentration à deux niveaux dans le réacteur : x(t) et y(t). +∞ +∞ Si les deux fonctions sont normées : ∫ x( t )dt = ∫ y( t )dt = 1 0 0 t2 y( t 2 ) = ∫ x( t1 ).E( t 2 − t1 ).dt1 0 Si le système est linéaire, on peut appliquer la transformée de Laplace L(f) à x(t) et y(t) pour obtenir X(s) et Y(s). +∞ L(f ) = ∫ exp( −st ).f ( t ).dt 0 Y(s)= X(s).G(s) G(s) fonction de transfert du système G=L(E) 7 III- MOMENTS Définition du moment µn et du moment centré µ’n d’ordre n de la distribution E(t)

On sait que : A [pic] on a [pic] A [pic] on a [pic] Donc : [pic] Ensemble moto-réducteur et volet : [pic] A-6 Relation entre N(p) et θV(p) On sait que : [pic] donc, en appliquant la transformée de Laplace obtient : [pic] [pic] Sachant que la position du volet est fermée à l’origine des temps : [pic] On en déduit la relation : [pic] Expression de la transmittance isomorphe

définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]  ;0[ . On appelle g la fonction causale telle que g "(t )  4 g (t )  e(t ) . Et vérifiant : g (0)  0 et g '(0)  0 . On note G( p) la transformée de Laplace de la fonction g et E ( p) la transformée de Laplace de la fonction e . 1. Exprimer E ( p) en fonction de p et de  . 2. En déduire que : 8 G ( p)  2 2 1  e p . p ( p  4) 3. Déterminer les constantes réelles A et B telles que : 8 A B .  2 2 2 2 p ( p  4) p p 4 8 4

est la suivante. Définition 1.1.1 Un système est linéaire s’il est décrit par des équations différentielles linéaires d’ordre fini à coefficients constants. Lorsque cette définition s’applique, on peut associer au système, à l’aide de la transformée de Laplace, une transmittance H(p) qui est une fraction rationnelle en p = jω. En automatique, on complète fréquemment la définition de linéarité avec la transmittance associée au retard pur, c’est-à-dire un terme de la forme exp(−τ p), où τ est une constante

suivante. Définition 1.1.1 Un système est linéaire s’il est décrit par des équations différentielles linéaires d’ordre fini à coefficients constants. Lorsque cette définition s’applique, on peut associer au système, à l’aide de la transformée de Laplace, une transmittance H(p) qui est une fraction rationnelle en p = jω. En automatique, on complète fréquemment la définition de linéarité avec la transmittance associée au retard pur, c’est-à-dire un terme de la forme exp(−τ p), où τ est une constante