Triangle

deux diagonales p et q d'un quadrilatère inscriptible est égal à la somme des produits des côtés opposés ac et bd : pq = ac + bd. Pour tout quadrilatère convexe, les deux diagonales du quadrilatère le coupent en quatre triangles; dans un quadrilatère inscriptible, les paires de triangles opposés sont constituées de triangles similaires l'un à l'autre. Pour un quadrilatère inscriptible de sommets successifs A, B, C, D, de côtés successifs a = AB, b = BC, c = CD et d= DA, et de diagonalesp=AC et q =BD, on a : et Si

3,2 2 = 10,24 AD 2 = 4 2 = 16 Nous remarquons que 5,76 + 10,24 = 16 , donc AM 2 + DM 2 = AD 2 . D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMD est rectangle en M. DM m 3. Dans le triangle AMD rectangle en M, nous avons tan DAM = --------- , j AM 3,2 soit tan DAM = ------ = 4 . DAM = 53° à 1 degré près. j -j 2,4 3 DIm 4. Dans le triangle ADI rectangle en D, nous avons tan DAI = ------- . Mais d AD les angles DAI et d DAM ont même mesure. Donc j 4 . Alors DI = AD × tan DAI ou DI = 4

III. Sur le papier millimétré qui t’a été distribué dessine les axes d’ un repère orthonormé (O, I , J) d’unité 1 cm et place O, I et J. 1° Place ensuite les points A(2 ; -1) B(2 ; 3) et C(6 ; 3) puis trace le triangle ABC, au crayon. 2° Construis ensuite, en couleur, A’B’C’ le triangle symétrique de ABC par rapport au centre O. Donne les coordonnées des points A’, B’ et C’. 3° Place R et S les milieux respectifs des segments [AC] et [BC]. 4° Sans règle, ni compas, ni papier calque, place en couleur

repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points An d’affixes zn . 1) a) Calculer z1 , z2 et z3 . b) Placer les points A1 et A2 sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie. 1+i sous forme trigonométrique. 2 d) Démontrer que le triangle OA0 A1 est isocèle rectangle en A1 . √ 2 . 2) Démontrer que la suite (rn ) est géométrique, de raison 2 La suite (rn ) est-elle convergente ? Interpréter géométriquement le résultat précédent. c) Écrire le nombre complexe On note Ln la longueur

en annexe. a. Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus. b. À quoi correspond le résultat affiché par l’algorithme ? Qu’en déduire pour le triangle MNP ? 4. On considère l’algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M. → − 5. On considère le vecteur n (5 ; −8 ; 4) normal au plan (MNP). a. Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP). → − b. On considère la droite ∆ passant

ABC est un triangle. Le cercle de centre O et de rayon R est le cercle circonscrit à ce triangle. La droite (OA) recoupe le cercle en D. H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. 1) Justifier que les angles [pic] et [pic] ont la même mesure. 2) Montrer que les triangles AHC et ABD sont semblables (de même forme). 3) Ecrire les égalités de rapports qui en découlent. 4) En déduire que [pic]. 5) En déduire que [pic] où S est l’aire du triangle ABC. -----------------------

mise en évidence de quelques caractéristiques de ces erreurs • Témoignages des stagiaires sur des erreurs fréquentes ; analyse de ces erreurs • D’autres erreurs classiques et leur analyse 2) Classification des erreurs et notion d’obstacle • Le triangle maître / élève / savoir et la classification des erreurs • Les obstacles en mathématiques 3) Les situations d’apprentissage et de remédiation proposées Modalités : • Analyse des erreurs des élèves • Apport sur la notion d’obstacle • Etude de

barycentre G de (A ; 2) et (B ; 1). 2. Déterminer des réels a et b tels que H (–1 ; 0) soit le barycentre de (A ; a) et (B; b). 3. Peut-on trouver a et b tels que O soit le barycentre de (A; a) et (B; b)? Exercice 4 : (2 points) Soit ABC est un triangle et I, J et K sont les milieux des côtés [AB] , [AC] et [BC]. Montrer que le barycentre de (A, 2), (B, 1) et (C, 1) est le milieu de [IJ]. Exercice 5 : (2 points) QCM : Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Une réponse juste

2. a. Première méthode : Notons D le sommet tel que ACD soit rectangle en D. La droite (AC) étant une bissectrice, on a donc CAD = 30o . Donc BCD = 60o . 2 Olympiades académiques 2010 Et puisque BC = DC, le triangle BCD est donc équilatéral. Ensuite, BDA = 30o , donc le triangle ABD est isocèle en B, d’où BD = BA. Finalement, on trouve bien AB = BC. Deuxième méthode : On note R le rayon du grand cercle. R DC On applique une formule de trigonométrie : sin DAC = , d’où sin 30o = . AC AC 1

bandes de cette série. 0,5 pt 0,5 pt 2 pts 1,5 pt 5 points 1. Construis un triangle MON rectangle en N tel que MN = 7,5 cm et MON = 30°. 2. Calcule NO et MO. 3. Soit I le pied de la hauteur issue de N, calcule NI. 4. La droite passant par M et parallèle à la droite (NI) coupe la droite (ON) en T. Calcule MT. 5. Soit E le centre du cercle circonscrit au triangle MOT ; démontre que MET est un triangle équilatéral. Exercice 4 0,5 pt 1 pt 1 pt 1 pt 1 pt 1 pt 4 points 2