Trigonométrie sphérique

avoir rappelé comment on trouve leur direction et leur sens, représenter sur le schéma les trois vecteurs unitaires de la base (⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) 3) Faire un schéma représentant les coordonnées sphériques (r,θ,φ) d’un point M. 4) Donner les coordonnées cartésiennes (x,y,z), cylindriques (ρ,θ,z) puis sphériques (r,θ,φ) des points A et B suivants : 5) a- Rappeler l’expression des vecteurs position et vitesse d’un point repéré par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z) b- Rappeler l’expression des vecteurs

Chapitre 1 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE 3ème I. SPHERES ET BOULES 1. Définitions Soit O un point dans l’espace. On appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensemble des points de l’espace qui sont situés à une distance R du point O. Les segments [A1B1] et [AB] sont des diamètres de la sphère. Les segments [OA], [OB] et [OA2] sont des rayons de la sphère. On appelle boule de centre O et de rayon R l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à R du point O. Remarque : la boule

A(r, ϕ, z) =  a ϕ  a   z < u (21) r ,u ϕ ,u z > Les équations différentielles des lignes de champ sont les suivantes : ∂ϕ  ∂r a = r ⋅ a  r ϕ   ∂r = ∂z ar az  1.4.6 Lignes de champ en coordonnées sphériques Si le champ vectoriel A est donné en coordonnées sphériques :  ar    A(r, θ, ϕ) =  a θ  a   ϕ (22) (23) HE-Arc, ingénierie 5 Analyse vectorielle – gradient, rotationnel et divergence Les équations différentielles des lignes de champ sont les suivantes

matrice Jacobienne de sera On a donc Analyse03/A-U :2014-2015 Page 9 Exemple : Calculer b) Calcul en coordonnées sphériques : En dimension 3, les coordonnées sphériques sont données par : Le déterminant de la matrice Jacobienne de sera Et donc Exemple : Calculer Le domaine D est l’hémisphère supérieur (centrée à l’origine et de rayon R), en passant aux coordonnées sphériques : Analyse03/A-U :2014-2015 Page 10 3. Volume : Le volume d’un corps est donné par tel que D est le domaine délimité

Définition d'une sphère   Soit O un point de l’espace. On appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensemble de tous les points de l’espace qui sont situés à une distance R du point O.         Définition du diamètre d'une sphère     Les segments [AB], [CD] et [EF] sont des diamètres de la sphère. On dit que les points A et B sont diamétralement opposés.       Définition d'une boule     Soit O un point de l’espace. On appelle boule de centre O et de

Four solaire  Un four solaire , constitué d’un miroir sphérique,  utilise l’énergie solaire pour faire  chauffer ou cuire les aliments.  1. Comment faut­il orienter le four ?    2. Où faut­il placer le plat ?  3. Par temps ensoleillé, on peut recevoir jusqu’à 1000 W par m². Évaluer la puissance  maximale de ce four  solaire sachant que son diamètre vaut 1,2 m  Exercice 2​  : Télescope à deux miroirs sphériques  Un télescope est formé de deux miroirs sphériques (M1) et (M2) respectivement concave et  convexe

déterminant jacobien vaut donc abr, et on a par la formule du changement de variables : π/2 1 J = 0 = (2a3 r3 cos3 θ − br sin θ)abrdθdr 0 4 4 ab2 a b− . 15 3 Exercice 12 - Changement de variables dans l’espace - Math Spé On passe en coordonnées sphériques, en posant    x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ   z = r cos θ. On obtient : B dxdydz 2 x + y 2 + (z − a)2 π π 1 r2 sin θ dφdr r2 + a2 − 2ar cos θ sin θdθ √ dr. 2 r + a2 − 2ar cos θ √ = 0 −π 1 0 π r2 = 2π 0 0 On calcule l’intégrale

Coordonnées cylindriques . . Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 Figures 1 2 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . Inversion de l’ordre des intégrations . . 2 3 3 4 5 6 Coordonnées polaires . . . Intégrale triple . . . . . . . Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . .

cylindriques (ρ,θ,z) les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) r par son vecteur position r = OM . Ce vecteur peut se décomposer sur différentes bases de projection : r r r r r r r r ♦ sur la base cartésienne ( u x , u y , u z ) : r =x u x + y u y + z u z . Les composantes de r se confondent alors ♦ ♦ (et dans ce cas seulement) avec les coordonnées cartésiennes. r r r r r r sur la base locale cylindriques (u ρ , u θ , u z ) : r = ρ u ρ + z u z r r r r r sur la base locale sphérique (u r , u θ , u ϕ ) r =r u r

d'objet respectivement pour un miroir plan et pour un miroir sphérique. À l'aide de son observation et des schémas précédents, déduire, parmi les miroirs M1 et M2, lequel est sphérique. 1.2. Clémentine veut à présent déterminer la distance focale du miroir sphérique. Elle allume alors une lampe de poche recouverte d'un papier opaque possédant une petite ouverture en forme de flèche verticale (de 2,0 cm de hauteur) puis pose le miroir sphérique plusieurs mètres à droite de celle-ci. Elle utilise un