U2

Considérer le signal modulé en amplitude u2 (t )  A 1  m cos(mt )  cos( p t ) , on donne : A  2V, fm  m  1 KHz et 2 fp  p  10 KHz 2 On se propose d’effectuer la démodulation de u2 (t ) par un redressement double alternance suivi d’un filtrage passe-bas. On rappelle que le redressement double alternance effectue l’opération de valeur absolue. 1) Déterminer la condition sur le taux de compression pour que l’enveloppe variable de u2 (t ) désignée par E (t )  A 1  m cos(m

un puits. Le coût prévu pour ce travail comprend : - un forfait de mise en place du matériel de 800 € - 200 € par mètre creusé. On note Ul le montant forfaitaire, U2 le coût du forage à 1 mètre, U3 le coût du forage à 2 mètres, .... Un le coût du forage à n –1 mètres. 1) Calculer U2, U3 et U4. 2) a) Donner la nature de la suite Ul, U2, U3 …Un. b) Préciser sa raison. 3) a) Exprimer Un en fonction de n. b) Calculer U13. 4) La profondeur du forage est prévue à 12 mètres. Une autre entreprise B leur

est dirigée par u1 et que D2 passe par le point A2 et est dirigée par u2. On désigne par ∆ la perpendiculaire commune de D1 et D2. On pose H1 = ∆ ∩ D1 et H2 = ∆ ∩ D2. 1. Montrer que pour tout point M1 de D1 et pour tout point M2 de D2, on a : H1H2 ≤ M1M2. 2. Montrer que (u1∧ u2). A1A2 = Det(u1, u2, H1H2). 3. En déduire que la distance entre les droites D1 et D2 est donnée par : d(D1, D2) = | (u1∧ u2). A1A2 |  →  → . || u1∧ u2||  →  → →  →  → →  →  → → x– y–1=0 x=1 4. Application

u1 , u2 , f (u1 , u2 ) avec f (0) = (∂1 f )(0) = (∂2 f )(0) = 0. 6.a) Calculer K(0) et H(0) en fonction des nombres r = (∂1 ∂1 f )(0) , s = (∂1 ∂2 f )(0) , t = (∂2 ∂2 f )(0) . 6.b) (Cas d’un cylindre) On suppose que f (u1 , u2 ) est fonction de u1 seul, soit f (u1 , u2 ) = g(u1 ). Exprimer H(0) en fonction de la courbure de la courbe Γ, intersection du cylindre avec le plan x2 = 0. 7.) Dans cette question, on considère le cas d’une surface de révolution : F (u) = f (u1 ) cos u2 , f (u1 ) sin u2 , u1

moyenne. EXERCICE N°2 Soit le circuit suivant, alimenté en régime sinusoïdal : On donne en annexe la représentation des vecteurs associés à i(t), u1(t) et u2(t). 1°) Déduire de la représentation de Fresnel : 1.a) l’intensité efficace du courant i(t), 1.b) la valeur efficace de la tension u1(t), 1.c) la valeur efficace de la tension u2(t). 2°) Construire en annexe le vecteur associé à la tension u(t), et en déduire : 2.a) la valeur efficace de la tension u(t), 2.b) la différence de phase du circuit

= ∑ α i ui , i =1 n avec (α1 , L , α n ) ∈ IR n Exemples : Dans IR 2 , on considère les vecteurs u1 = ( x1 , x2 ) , u2 = ( y1 , y2 ) et u3 = ( z1 , z2 ) . o u = (3x1 + 2 y1 + z1 ,3x2 + 2 y2 + z ) est une combinaison linéaire des vecteurs u1 , u2 et u3 : u = 3u1 + 2u2 + u3 o u = (3x1 + 2 y1 + z1 ,3x2 + 2 y2 − z ) n’est pas une combinaison linéaire des vecteurs u1 , u2 et u3 . Théorème : L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un sous espace vectoriel

y) = |x| + |y| .  0 sinon Justier que f est continue en (0, 0). Etudier les dérivées partielles de f en (0, 0). 2 Exercice 13 [ 01745 ] Exercice 18   Soit f : R2 → R une fonction de classe C 1 et g : R2 → R dénie par g(u, v) = f (u2 + v 2 , uv). a) Justier que g est de classe C 1 . ∂g ∂g b) Exprimer ∂u et ∂v en fonction des dérivées partielles de la fonction f notées ∂f ∂f ∂x et ∂y . [ 01755 ] Exercice 14 Soit ϕ : R → R dérivable. On pose f : R × R → R dénie par f (x

U secondaire . Uprimaire = U1 Usecondaire = U2 U1 [V] U2 [V] m 0 20 40 60 80 100 140 180 200 230 250 2.3. Reproduire le tableau en forme de graphique (U1 en abscisse et U2 en ordonnée) 2.4. Que pouvez-vous constater ? 3. Caractéristiques nominales 3.1. Relever sur la plaque signalétique du transformateur les valeurs suivantes : Page 5 sur 8 - Puissance apparente S [VA] - Tensions primaires U1 [V] - Tensions secondaires U2 [V] 3.2. Calculer les courant nominaux suivants

+ 1/R2 R1 R = (R1 x R2) / (R1 + R2) R2 Valable uniquement pour 2 résistors en dérivation VIII°) Pont diviseur de tension R1 But : on cherche une relation qui donne U2 en fonction de U , R1 , R2 U U2 = R2 x I R2 Req = R1 + R2 U2 I = U/Req Donc U2 = R2 x U/Req = (R2 x U) / (R2 + R1) U2 = [R2/(R1+R2)] x U

éfficace de l’intensité du courant : On a : U1 = AN : I = 2 x 4,24 x 3,14 x 62,5 x 2 x 10-6 I = 3,33 x 10-3 A = 3,3 mA b) Tension éfficace aux bornes du résistor U2 = RI AN: U2 = 3000 x 3,33 x 10-3 U2 = 9,99 V ; U2 ≈ 10 V c) Construction de Fresnel. - Valeur de U U= 2 U1 + U2 2 ⇒ I = 2 π fcU1 U2 + ; AN : U = 10,9 V tanϕ = U1 U2 ϕ U U1 - Difference de phase : AN: tan ϕ = -0,42 ⇒ ϕ = -23° = -0,4 rad / 06 points Exercice 3 : phénomènes corpusculaires et ondulatoires A. Phénomènes