U2

−2x 1−x+ 1+x 1−x+ 1+x 1−x+ 1+x √ √ 1−x 1+x 1 √ dx = dx + dx D'où √ −2x 2x 1−x+ 1+x √ =F (x) =G(x) Calcul de F (x) On pose u = √ 1 − x x = 1 − u2 √ F (x) = F (x) = 1−x dx = −2x u2 du = 1 − u2 dx = −2udu u (−2udu) −2 (1 − u2 ) u2 − 1 + 1 du = 1 − u2 −du + du 1 − u2 1 1 + du = −u + 1 ln |1 + u| − 1 ln |1 − u| + C 2 2 1+u 1−u √ √ √ 1 F (x) = − 1 − x + 2 ln 1 + 1 − x − 1 ln 1 − 1 − x + C 2 F (x) = −u + 1 2 Calcul de

kilogramme par degré Celsius. peut se mesurer en  joules par seconde. est l’énergie qu’il faut pour chauffer un mètre cube de la substance d'un kelvin supplémentaire. mesure la puissance énergétique de la substance. 6) La tension U2 vaut : U2 = 1 V U2 = 1,5 V U2 = 2 V U2 = 3,75 V U2 = 5,25 V 7) Une personne de masse m = 70 kg est debout sur un pèse-personne dans un ascenseur. La balance indique 90 kg. L’ascenseur descend à vitesse constante v = 2 m/s. L’ascenseur descend et freine pour s’arrêter au

1 + L) lignes et LI colonnes et nous observons que (I − 1 + L) ≤ LI. x2 u2 (x2 ) − .. . u2 (x∗2 ) uI (xI ) − uI (x∗I ) I r− xi ...  xI x1 ∇u2 (x2 ) . . . 0 0  .. .. .. ..  . . . .   0 . . . ∇u (x ) 0 I I   −IL ... −IL −IL i=1 20        (3.11) o` u IL est la matrice identit´e d’ordre L. Maintenant nous consid´erons la sous-matrice suivante d’ordre (I − 1 + L) : x12 ... x1I  D := x1 Dx12 u2 (x2 ) . . . 0 0  .. .. .. ..  . . . .   0 . . . Dx1I uI (xI ) 0   

1] conduit ensuite au r´sultat attendu : e e ∀i ∈ {1..n} ui ∈ 0, 1 8 9. a) En appliquant 6.a) a la fonction u,on obtient, pour 1 ≤ i ≤ n : ` f(xi ) + 1 h2 M (u (xi−1) − 2u (xi) + u (xi+1)) ≤ 2 h 12 o` M = sup |f | u [0,1] soit, puisque u0 = 0, u1, u2, ..., un, un+1 = 0 v´rifient (2) avec fi = f(xi ), e (∗∗) 1 h2 M [− (ui−1 − u (xi−1)) + 2 (ui − u (xi)) − (ui+1 − u (xi+1))] ≤ h2 12 Posons, (∆u)i = ui − u(xi) pour 0 ≤ i ≤ n + 1, ( ce qui impose (∆u)0 = (∆u)n+1 = 0 ) et d´signons e par ∆u le vecteur

non r´duits au vecteur e e nul. Soit u1 ∈ L(E1 ), u2 ∈ L(E2 ) et u3 ∈ L(E2 , E1 ). Alg`bre e On note u l’endomorphisme de E tel que : ∀ x ∈ E1 , u(x) = u1 (x) ∀ x ∈ E2 , u(x) = u2 (x) + u3 (x) 49 1. Donner la forme de la matrice de u dans une base de E obtenue en mettant bout ` bout une base de E1 et une base de E2 . a 2. a) Soit (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 et λ ∈ R. On pose x = x1 + x2 . Montrer que : u1 (x1 ) + u3 (x2 ) = λx1 u(x) = λx ⇐⇒ u2 (x2 ) = λx2 b) En d´duire que λ est valeur propre

Exemple : Consid´erons une ´economie `a deux consommateurs : u1 (x11 , x11 ) = (x11 )1/3 (x12 )2/3 u2 (x21 , x22 ) = (x21 )1/2 (x22 )1/2 e = (3, 3) ∇u1 (x11 , x12 ) = λ1 ( 11 , 21 ), ∇u2 (x21 , x22 ) = λ2 ( 12 , 12 ). x1 x2 x1 x2 1 2x Puisque ∇u1 (x11 , x12 ) est colin´eaire `a (1, 11 ), et que ∇u2 (x21 , x22 ) est x2 x21 colin´eaire `a (1, 2 ), on obtient la condition ∇u1 (x11 , x12 ) est colin´eaire `a x2 ∇u2 (x21 , x22 ) si et seulement si 2 1 0 2x11 x21 = . x12 x22 0 1 2 3 Fig. 1 – Ensemble

peut être découpé pour attaquer également des transformateurs. Pendant le processus de régulation, les fluctuations du secteur ne doivent avoir aucune influence sur le système à asservir. Pour cela il faut choisir un des types de commande disponibles : U2, P ou I2. Une atténuation du signal d’entrée permet de réduire la plage de régulation et un potentiomètre externe permet de prédéfinir une charge de base. Le mode “ trains d’ondes” permet un montage économique pour une charge polyphasée. Dans le mode

bruit blanc u(.) stationnaire. Remarque 2.19. Attention, deux signaux aléatoires stationnaires ne sont pas forcément conjointement stationnaires. En effet, on a Sn = S × · · · × S. n fois Dans le cas où Γu1 ,u2 (t1 , t2 ) = Γu2 ,u1 (τ ), on a u1 (.) , u2 (.) ∈ S ⇒ (u1 (.) , u2 (.)) ∈ S 2 . La matrice d’autocorrélation Γu,u (τ ) d’un vecteur de signaux u (.) ∈ S n vérifie la proposition suivante : Proposition 2.20. La matrice d’autocorrélation Γu,u (τ ) d’un vecteur de signaux u (.) conjointement

Calculer les fonctions meilleures r´ponses pour le duopole de Cournot avec 2 firmes. G´n´raliser e e e pour N firmes. D´terminer l’´quilibre de Nash. e e 5 Processus d’ajustement ϕ1 (u1 , u2 ) = (u1 − u2 − 1)2 , ϕ1 (u1 , u2 ) = (u1 − u2 + 1)2 . ` Soit un jeu deux joueurs (minimiseurs) d´fini par U1 = U2 = I et e R, ` Montrer que l’algorithme des meilleures r´ponses ne converge pas. Ce jeu possde t il des ´quilibres e e de Nash ? 1 6 Gestion des pˆches e On suppose qu’un stock de

n = dim(E) et u ◦ v = v ◦ u. o Prouver qu’il existe un polynˆme P ∈ Kn−1 [X] tel que v = P (u). e L’hypoth`se de n valeurs propres distinctes est–elle indispensable ? Soit u ∈ L(E) tel que u3 = u2 mais u2 ≠ u et u2 ≠ 0. Quelles sont les valeurs propres de u ? u est–il diagonalisable ? Prouver que E = ker(u2 )⊕ker(u−IdE ). Soit p le projecteur sur ker(u−IdE ) associ´ ; prouver que n = u − p est nilpotent et que n ◦ p = p ◦ n. e Exprimer p et n en fonction de u.   2 −5 3   Exemple : M(u) =  1 −3