Variable aléatoire

probabilités - Algèbre d'ensembles et vocabulaire des événements - Référentiel, événements aléatoires, espaces probabilisable et probabilisé - Probabilités conditionnelles, totales et composées - Probabilités des causes : formule de Bayes - Indépendance de deux événements Chapitre II : Variables Aléatoires et lois de probabilité - Variables aléatoires discrètes et continues - Valeurs caractéristiques d'une variable aléatoire - Propriétés de l’espérance mathématique et de la variance. Chapitre III : Lois de

le sondage aléatoire simple : dans la population, chaque individu de la population a une chance non nulle de faire partie de l'échantillon. On laisse le hasard décider des individus à interroger et on effectue l'enquête sur ceux-ci. Cette méthode est très rare. Une autre méthode probabiliste est le sondage aléatoire stratifié : on prend des strates qu'on connaît dans une population (par exemple les régions lors d'une enquête nationale) et, dans chaque strate, on tire un échantillon aléatoire. En gros

c) ?= 2) ?? ?=? ? ′ ?? ? ? ?? − ? ? ? − ? ?=? ′ = ?′ ?? ? + ? ? − ? ? − ? ′ Où ? est un vecteur de ℝ? Exercice 3 : On considère une matrice ? de dimension ?, ? ; le vecteur ? = ?? , ?? , … , ?? ′ et les vecteurs aléatoires ? = ??, ?? , … , ?? ′ et ? = ?? , ?? , … , ?? ′ . On suppose que les ?? sont iid de ? ?, ?? et que ? = ? − ?? 1) Déterminer, en fonction de ? et ? le vecteur ? qui minimise ? ?? ? par rapport à ? (Indication : ? ?? ? = ?′ ? ) 2) Démontrer que

Tirage 4 : 0.36, 0.5, 1.5, 0.19, 0.3, 0.23, 0.5, 0.56, 0.27, 0.98 -> moyenne : 0.54 Les échantillons obtenus par tirage aléatoire simple étant très petits, le hasard peut donner des estimations très différentes les unes des autres et parfois très éloignées du résultats réel, même lorsqu’une seule valeur diffère. On parlera de variance élevée (cf chapitre sur l’échantillonnage aléatoire simple). Ce phénomène de variabilité est beaucoup moins important pour des échantillons de grande taille. Une autre

donc : p(F) = p(R1 ∩ N2 ) + p(N1 ∩ R2 ) 4 9 1 1 = × + × 10 5 10 10 17 = 0, 17 = 100 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 € ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 € ; sinon il ne reçoit rien. X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1 €). a. Déterminer la loi de probabilité de X. N2 R2 R1 4 5 N2 R2 www.bac-de-maths.fr - Le partenaire de votre réussite ! Bac S de maths 2008 - Métropole septembre Corrigé

est-il convenable. Dans un laboratoire de fabrication de résistances une étude a montré que la probabilité pour qu’une résistance tirée au hasard soit défectueuse est de 0,002. Une entreprise achète un lot de 1000 résistances. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de résistances défectueuses du lot. 1) Quelle est la loi de probabilité suivie en toute rigueur par X ? Préciser ses paramètres. 2) On approche la loi de probabilité X par une loi de Poisson. Préciser le paramètre de cette

euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Les trois questions de l'exercice sont indépendantes. 1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. a. Démontrer que: p(X = -1) = ( n+lO 2)(n+9 ) . 2 b. Calculer, en fonction de n, la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable X. c. Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire X vaut : E(X) = -6n

facteurs invariants (dans notre cas la variable EXT) Les estimateurs obtenus sont sans biais mais non efficaces Problème d’identification de l’impact des facteurs invariants dans le temps - Contrôle l’hétérogénéité non observable : Ui (aléatoire) Dimension temporelle et individuelle (variabilité intra et inter individuelle) Degrés de liberté : N*T-K Estimation par les MCO du modèle transformé Tient compte des facteurs invariants (dans notre cas la variable EXT) Les estimateurs obtenus sont efficaces

 Permet d’avoir accès à la population  Deux types Les nomenclatures Liste de noms et d’adresses qui donnent directement accès à des unités Exemple : •Liste d’hôpitaux •Liste des étudiants inscrits en médecine •Registre des entrées Les bases aléatoires Liste de « régions » qui donnent accès indirectement à des unités Exemple : •Quartier d’une ville •Service d’un hôpital La base de sondage  Doit être complète et à jour  Aucun membre de la population observée ne devrait en être exclu ni y être

est de décrire et de résumer de façon formalisée des informations collectées de manière exhaustive. ( Traitement des données Les autres notions : - calcul de probabilités et études des lois probabilistes : analyse des événements aléatoires - statistiques mathématiques et statistiques inférentielles II- PRESENTATION DES DONNEES 2.1.1- LA POPULATION ET LES UNITES STATISTIQUES La statistique étudie de manière quantitative des ensembles nombreux : ils portent le nom