Variable aléatoire

avec certitude. On dit qu’une somme est risquée si cette somme peut prendre différents montants possibles, chacun d’entre eux ayant une probabilité de réalisation définie. En d’autres termes : une somme est risquée si cette somme est une variable aléatoire dont on connaît la distribution de probabilité pouvant être discrète ou continue. Exemples : N°1 : Le chiffre d’affaires prévisionnel pour l’année prochaine d’une société A ayant deux montants possibles : 1000 avec la probabilité ½ 1500

probabilité de l’événement k  Espérance, Variance, Ecart type et la fonction caractéristique  Domaine d’application de la loi de poisson  Diagrammes en bâtons  Approximation de la loi de poisson par la loi normale  Additivité de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes  Application  Introduction : En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'évènements se produisant dans un laps

10 Définition 1 : Processus stochastique On s’intéresse à l’évolution d’un phénomène au cours du temps. Cette évolution est aléatoire, on va la représenter par une famille de variables aléatoires. 15 Un processus stochastique (ou aléatoire) est alors : {Xt ; t ∈ T} Où : – Xt est une variable aléatoire, indexée par le paramètre t, qui est un instant. Les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé (Ω, Ε, P). D’une façon générale Xt est l’état du système à l’instant t. – T est un

partir d’échantillons, le validitée de certaine hypothèses sur des populations mère. On distingue différent typede tests. • Les Tests d’ajustement, qui porte sur la distribution de la population mère. • Les Tests d’indépendance qui concerne 2 variables. (KI/QUI 2) • Les Tests de conformité (test paramétrique avec une seule population) • Les tests de comparaison (test paramétrique avec 2 population) A) Test statistique – Hypothèse nulle Un test stat. est une procédure basée sur une fonction

que lorsque h tend vers 0 , o ( h ) est négligeable par rapport à h . EXEMPLES 2u2 - u3 = o ( u ) 1 - cos u = o ( u ) sin u ≠ o ( u ) 1.1.2. Espérances mathématiques conditionnelles Soit { B1 , B2 , . . .} une partition de l’univers et X une variable aléatoire discrète de distribution pn = p ( X = xn ) . alors d’après le théorème des probabilités composées on a p n = ∑ p( X = x n B k ) p( B k ) pour tout n ∈ N k De même si X est continue de densité f ( x ) on obtient  f ( x ) = ∑ f ( x B k )

Au moins un des deux collyres » fait référence au OU inclusif, c'est-à-dire P ( A ∪ B ) . On utilise la formule : P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0.05 + 0.10 – 0.005 = 0.145 Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson 1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car nous avons n tirages indépendants (prélèvements au hasard et avec remise) et il y a deux issues possibles (expérience de Bernoulli) : soit la fiche indique une pression intraoculaire normale (succès p =0.10), soit

. . 1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . 1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Principales lois de probabilités . . . . . . . . 1.2.5 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . 1.2.7 Convergence de suites de variables aléatoires 1.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . 2 Échantillonnage 2.1 L’échantillon aléatoire . . . . . . 2.1.1 Population

dit probabiliste ou aléatoire La mise en œuvre de cette méthode implique de disposer d’une base de sondage : Liste exhaustive des personnes faisant partie de la population de base Ex : Tirage au sort de 30 étudiants parmi la liste des présents en amphi. Toute méthode probabiliste repose sur la création d’un échantillon par tirage au sort Tous les éléments de la base doivent avoir la même probabilité d’être tirés au sort C’est une méthode fondée sur le hasard Les méthodes aléatoires de tirage au sort

10 Sommaire I Rappels A) B) C) D) Variables aléatoires Médianes et quantiles Quelques lois Statistiques inférentielles et estimations II Modélisation linéaire A) Corrélation 1) Le coefficient de Pearson 2) Le coefficient de Spearman B) Régression linéaire III Régression logistique IV Modèle multiple A) Modèle linéaire multiple B) Modèle logistique multiple V Bonus sur les tests Ronéo n°1 – Cours n°1 UE11 2 sur 10 I. Rappels A. Variables aléatoires On utilise la modélisation pour décrire

Bernoulli de paramètre p toute expérience aléatoire n'admettant que deux issues, • l'une appelée « succès », notée S, dont la probabilité d'apparition est p • l'autre appelée « échec », notée E ou ̄ S , dont la probabilité est 1 – p . Exemple : On lance un dé cubique équilibré et on s'intéresse à l'apparition de S : « obtenir un 6 ». 1 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p= . 6 Propriété 1 : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X, prenant la valeur 1 si S se produit